增长曲线模型的非参数估计.pdf

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1、应用概率统计第二十九卷ChineseJournalofAppliedProbability第六期2013年l2月andStatisticsV_01．29No．6Dec．2013增长曲线模型的非参数估计木高采文甘华来(山西大同大学数学与计算机科学学院，大同，037009)(华东师范大学金融与统计学院，上海，200241)摘要增长曲线在研究中通常假定为时间的多项式形式，大多数研究者都是通过选取高阶多项式的方式来提高估计的精度．但这种方法存在很多缺陷，如模型易受异常点的影响，多项式假设要求过高等．本文首次将局部多项式这种非参数估计方法应用到增长曲

2、线模型中，提出了非参数增长曲线模型，给出了它的局部多项式估计，并讨论了估计的渐近性质和理论带宽的选择．最后对参数估计和非参数估计进行了模拟比较，从拟合图和平均均方误差箱形图得到的结论是非参数估计效果较好．关键词：增长曲线模型，非参数估计，局部多项式，最优窗宽．．学科分类号：O212．7．§1．引言增长曲线模型~Wishaft于1938年在研究不同组间动植物的生长情况时首次引入，是一种广义多元方差分析模型，在现代医学、农业及生物等领域中有着广泛的应用．一般的增长曲线模型(GCM)为×n=×mB××+Ep×，Ep×一×n(0，厶∑)，(1．1)

3、其中y是观测矩阵，x和z是设计矩阵，Rank(X)=m

4、用Raof1965)所提出的协方差调整的方法即通过选取高阶多项式的方式来获得比较精确的对未知参数矩阵B的估计．虽然这种方法得到了广泛应用和推广，但仍存在很多缺陷：(1)要求多项式具有任意阶导数，且要求各阶导数处处存在，然而大多数实际问题很难满足这一要求；(2)如何合理的确定多项式的阶数比较困国家自然科学基金项目(11171l12)和国家统计局重点科研项目(20l1LzO51)资助本文2013年8月28日收到，2013年1O月22日收到修改稿．应用概率统计第二十九卷难，高的阶数将带来参数的增加和模型的不稳定，而低的阶数带来的是模型误差的增加；

5、(3)异常点的影响，异常点会对多项式的形式有较大的影响，导致模型的不稳定；(4)多项式的假设有时不太合理．如俞启泰(2003)提出的油田开发指标的增长曲线：Ⅳp：Ⅳm舣sinf(1一。)其中为累积产油量，ⅣmaX为最大可采储量．油田累计产量、储采比等开采指标与时间之间满足一种三角函数关系．鉴于以上缺陷，本文将非参数回归方法引入到增长曲线模型中，提出非参数增长曲线模型(nonparametricgrowthcurvemode1)为×n=×r×n+Epxn，Ep×竹一×n(0，厶0∑)，(1．2)其中y是观测矩阵，z是秩为(r<礼)的设计矩阵，

6、礼=∑ni，叩(t)=1(t)，v2(t)⋯．，叼r(t)]，(t)(i=1，2，⋯，r)是第i组的光滑增长曲线．我们的目的是求出增长曲线函数叩(t)以及它的导函数叩(”)(t)的估计值．第二节给出了非参数增长曲线模型的局部多项式估计．第三节借鉴Fan~Gijbels(1996)~究方法，对非参数增长曲线模型的局部多项式估计的渐近性质进行了讨论．在非参数回归中，一个重要的问题是窗宽的选择．第四节中讨论了非参数增长曲线模型估计的窗宽选择问题．由于大量的真实数据比较难获得，在第五节采用模拟的方法对参数估计和非参数估计进行了比较．从模拟的结果可以

7、看出本文所采用的非参数回归方法比传统的参数估计方法效果要好，从而验证了新方法的优势所在．§2．非参数增长曲线模型的局部多项式估计令to为任意给定的时间点，假设叩()在0处具有(m+1)阶连续导数，其中m为非负整数．Taylor展开式，叩(t)可以在to的局部近似展开为m阶多项式，即)≈0)+(0)+(川+．．．+(三∑(￡一￡o)’，j=o其中=叼(J)(t0)／!．令：[，1⋯．，]，由模型残差最小性原则：tr(Q())=tr{(Y—z)Tw(z—xzz)}，(2．1)其中x=()p(m+1)，xij=(一)_。，W=diag{Kh(ti

8、—t))p×p，KU(‘)=(‘／h)／h，i=1，2⋯．，P，J=l，2⋯．，m+1，(·)为核函数，为带宽．：[A，⋯．，]是为极小化(2．1)得到的的估计，即=argmin