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1、《理论力学》题解1-3已知曲柄,以匀角速度绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑动B沿直线运动.设,,.求连杆上C点的轨道方程及速度.解:设C点的坐标为,则联立上面三式消去得整理得轨道方程设C点的速度为,即考虑A点的速度得所以1-4细杆OL绕O点以匀角速度转动,并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动,图中的为一已知常数.试求小环的速度及加速度解:小环C的位置由坐标确定解法二:设为小环相对于AB的速度,为小环相对于OL的速度,为小环相绕O点转动的速度,则又设OL从竖直位置转过了角,则,所以,小环相对于AB的速度为,方向沿AB向右.沿滑杆OM
2、滑动的速度为,方向沿OM杆向上。求加速度用极坐标横向加速度第一章第五节例题一解:坐标向上为正时,速度也向上为正,而实际速度向下,则有阻力,动力学方程,满足初始条件的解为坐标向下为正时,速度也向下为正,实际速度向下,则有阻力,动力学方程,满足初始条件的解为()可以看出第一章第五节例题二解:双曲正切函数,双曲余弦函数反双曲正切函数()1-10一质点沿着抛物线运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍.如此质点从正焦玄()的一端以速度出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率.解:设条件为,,上面三式联立得两边积分,由可得在正焦玄两端点和处
3、,,.可看出,两点处抛物线得切线斜率互为倒数,即,代入得1-15当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后的甲板,蓬高.但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前,如果雨点的速率为,求轮船的速率.解:设相对于岸的速度为,雨相对于岸的速度为,雨相对于船的速度为则速度三角形与三角形ABC相似,得所以方程的解解:作变换,原方程变为设,,,则实根两个虚根:,对于该题,只取实根.1-38已知作用在质点上的力为,,其中都是常数,问这些应满足什么条件才有势能存在?如果这些条件满足,试求其势能.解:由得:1-39一质点受一与距离3/2
4、次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达时的速度和自静止出发到达时的速率相同.解:依题意有,两边积分,再积分,可知1-43如果质点受有心力作用而作双纽线的运动时,则试证明之。解:比耐公式而代入得1-44质点所受的有心力如果为式中,及都是常数,并且,则其轨道方程可写成。试证明之。式中,,(A为积分常数)。解:比耐公式将F代入得,式中其解为式中,将基准线转动一角度,可使得2-1求均匀扇形薄片的质心,此扇形的半径为,所对的圆心角为。并证明半圆片的质心的距离为解:取对称轴为轴,则质心比在对称轴上。设密度为对于半圆片,取
5、,或者直接积分2-2如自半径为为的球上,用一与球心相距为的平面,切出一球形帽,求此球形帽的质心。解:方法一球形帽可看作由许多圆薄片沿Z轴叠成,其质心坐标方法二取任一垂直于OZ轴的两平面来截球冠,截得一微圆球台近似地等于圆柱。2-3重为的人,手里拿着一个重为的物体。此人用与地平线成角的速度向前跳去。当他达到最高点时,将物体以相对速度水平向后抛出。问:由于物体的抛出,跳的距离增加了多少?解:选人与重物组成一个系统,此系统在水平方向无外力作用,水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前,水平速度为,在最高点抛出重物之后,其水平速度变为,则人抛
6、出重物后,做以为初速的平抛运动,比不抛重物落地点要远,增加的距离两式联立得讨论:若抛出物体时速度是相对人后来的速度即,则上面第一个方程变为结果是一个例子:人重60公斤,物重2公斤,起跳速度,抛物速度,则2-13长为的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上,其方向与桌边沿垂直,此时链条的一半从桌上下垂。起始时,整个链条是静止的。试用两种不同的方法,求此链条的末端滑到桌子的边沿时,链条的速度。解:【方法一】设链条的线密度为,则时刻下落的链条质量为,此时链条所受的重力为,根据牛顿第二定律有作变换代入上式两边积分,【方法二】设链条的线密度为
7、,当链条往下移,重力做的功为,2—16雨滴下落时,其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例,求雨滴速度与时间的关系。解:变质量动力学方程设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度,代入上式得设雨滴半径的增长率为,,式中为时雨滴的半径,雨滴的质量,式中为密度其解设时,的问题:轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝,以匀角速度绕轴转动。一质量为的小环套在此金属丝上,并可沿金属丝滑动。是研究其运动。抛物线方程建立动参考系,则动能势能运动微分方程对上式积分一次再积分一次一个自由度下,应用虚功原理求平衡问题半径为的光滑半球形碗固定在水平桌面上,一均质棒
8、斜靠在碗缘,一端在碗内,另一端在碗外,在碗内长度为,试证棒长为解:主动力,,体系平衡时,由虚功原理得上式中如选为广义坐标,得出这与广义坐标的变分独立性相矛盾,故不能选为广义坐标。选为广义坐标,则,,而,得棒长取直角坐标为广义坐标,如,因为则广义力独