超全高中数学函数知识点总结.doc

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1、一、函数的定义(概念)一、映射,一一映射,单射和满射1、单射：设f是由集合A到集合B的映射，如果x,y∈A,且x≠y等价于f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。可理解成“源不同则像不同”。2、满射：值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下：若函数为满射，则对任意b，存在a满足f(a)=b。二、函数的三要素:定义域,值域,对应关系2．(2007广东理1)已知函数的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N，则M∩N=（）A．{x

2、x>－1}B．{x

3、x<1}C．{x

4、－1

5、文5分）5．函数的定义域为()A．B．C．D．的定义域和值域，求二、函数的单调性一、定义二、判断单调性的方法：（1）定义法：①在给定的区间上任取，，且设；②作差；③定号下结论；(2)作商法：若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：或★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：或（3）复合函数的单调性：对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。同增异减。（4）由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断：对于两个单调函数和，若它们的定义域

6、分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，函数的增减性与(或)相同，、、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：增函数，、，的增减性不能确定；（5）导数法：对y=f(x)求导三、复合函数的定义域,值域,单调性四、导数1、定义问:,，,2、几何意义3、基本初等函数的导数公式求切线方程时，把在某点处的切线与过某点的切线混淆。求函数在图像上某点处的切线方程是导数的重要应用之一。当点P在曲线上时，求过点P的切线方程有以下两种可能的情形：一是P点就是切点，二是切线以曲线上另一点为切点，但该

7、切线经过点P。注意：曲线在点P的切线，只指前一种情形。4、复合函数的导数公式例题：5、利用导数判断函数的单调性求的单调区间求的单调区间注意：，但，但例3求函数的单调递增区间。错解：由题意，得令得解得又∵函数的定义域是（0，+∞），∴函数的单调递增区间是（0,1）和（1,+∞）。剖析：对于的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率地下结论。此题就是错在对函数在x=1处是否连续没有进一步研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0,+∞）。正确答案：（0,+∞）五、反函数其实如果A→B是一一映射，那么

8、就存在B→A的逆映射，且该映射亦为一一映射。这两个映射也是原函数和反函数对应的两个映射一般来说，若一个函数具有严格的单调性，则该函数的定义域与值域之间存在一一映射关系。一个函数的反函数存在的条件：若函数在定义域内单调，则该函数在此定义域内存在反函数，且唯一反函数的求法：(1)互换X,Y(2)用X来表达Y原函数和反函数的性质：（1）原函数的定义域为饭函数的值域（2）原函数的值域为饭函数的定义域（3）原函数与反函数的图像关于y=x对称（4）原函数与反函数的单调性相同反三角函数的图像和性质定义域R值域[0，π]单调性在上单调递增

9、无减区间在上单调递减无增区间在R上单调递增无减区间奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数图象运算公式1运算公式2运算公式3运算公式4三、函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个：⑴是偶函数；⑵奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称,且函数的定义域关于原点对称是函数成为奇(偶)函数的必

10、要条件.②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；③、可逆性：是偶函数；奇函数；④、等价性：⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；①注意函数y=f(x)与y=kf(x)的单调性与k(k≠0)的相关性;.(1)(2)若函数是奇函数,且在处有定义,那么(3)任何一个定义域关于原点对称的函数,都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式.例的定义域关于原点对称,则为偶函数,为奇函数，且四、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等

11、，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数的奇偶性。第二种方法：求两个