多目标优化问题.pdf

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1、多目标优化问题5.1多目标优化的基本概念大多数工程设计问题都具有多个目标，设计工作需要同时极大化（或极小化）这些目标，并且满足约束条件。一般情况下，这些和被设计系统的性能相关的目标是内在冲突的。这种多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化（Multi-ObjectiveOptimization,MO）问题。多目标优化解MO问题通常的做法是根据某效用函数将多目标合成单一目标来进行优化。但大多数情况下，在优化前这种效用函数是难以确知的。另一方面单目标优化问题中的任意两个解都是可以比较其好坏的，因此说问题有一个最优解（如果存在最优解）是毫无争议的；而多

2、目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标劣化作为代价，也就是说，要同时使这多个子目标都一起达到最优值是不可能的，而只能是在它们中间进行协调合折衷处理，使各个子目标函数都尽可能地达到最优。而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，这是多目标优化问题与单目标优化问题最大的区别。因此在多目标优化问题中往往有一些无法简单进行相互比较的解。这种解称作非支配解或Pareto最优解，多目标优化5.1.1多目标优化问题的数学模型

3、在工程实际中许多实际问题往往期望几项指标同时达到最优值，如在机型工程中，可能希望机器（或零部件）的强度、刚度、经济性、工艺性、使用性及动力性能都有最优。一般的多目标优化问题，就是在可行设计空间中寻找一组设计变量以同时优化几个不同的设计目标。多目标优化问题一般可描述为下面的数学模型：TV−minf(x)=[f(x),f(x),?,f(x)]12pts..x∈X（读作x属于集合X。满足约束条件的解x称为可行解）mmX⊆R（读作X是R的子集。集合X表示由所有满足约束条件的解所组成的一个集合，叫做可行解集合）多目标优化T式中，V−min表示向量极小化，即向量目标f(x)

4、=[f(x),f(x),?,f(x)]中的各多目标优化12p个子目标函数都尽可能地极小多目标优化问题的最优解与单目标优化问题有着本质的不同，为正确地求解多目标优化问题，对多目标最优解和Pareto最优解进行定义。mp定义1设X⊆R是多目标优化模型的约束集，f(x)∈R是多目标优化时的向量目标函数，x∈X,x∈X。若f(x)≤f(x)(∀k=1,2,?,p)（对于所有的子目标）12k1k2且f(x)

5、1∈X，并且x比X中的所有其它解都优越，则称x是多目标优化11模型的最优解。由该定义可知，多目标优化问题的最优解x就是使函1数f(x)的每一个子目标函数都同时达到最优点的解，如图多目标优化所示。显然在大多情况下，这样的最优解是不存在的。m定义3设X⊆R是多目标优化模型的约束集，p~f(x)∈R是多目标优化时的向量目标函数。若x∈X，并且不存在比~x更优越的x,则称~x是多目标优化模型的多目标优化问题的最优解Pareto最优解，或称为非劣解。由该定义可知，多目标优化问题的Pareto最优解仅仅是它的一个可以接受的“不坏”的解，并且一般多目标优化问题都存在多个Par

6、eto最优解，如图所示。mX⊆Rts..x∈X多目标优化多目标优化问题的最优解多目标优化由Pareto解的定义可知：在可行解中没有比Pareto解更优的解，即Pareto最优解集中的元素就所有目标而言是彼此不可比较的。对一个多目标优化的问题而言，其Pareto解不是唯一的，而是一群，所有Pareto解的集合形成Pareto解集，而该解集中任何一个解都是可能的最优解。解决多目标优化问题的最好方法，就是得到均匀分布的Pareto最优解集后，根据不同的设计要求和意愿，从其中选择最满意的设计结果。多目标优化Pareto方法是建立在Pareto最优解基础上的一种处理多目标

7、问题的方法，它不同于线性加权法的地方在于：线性加权法先决定各个目标的重要程度，将多目标问题转化为单目标问题求解，实质上是单目标的优化设计，而Pareto方法是在多目标优化的基础上，找到优化问题的Pareto最优解，然后才是选择最适当的设计点，所以能更客观的反映多目标优化问题的实质。一个多目标优化问题的所有Pareto解（有效解）构成的集合称为Pareto曲面（有效域），多目标优化问题的最终解应该从Pareto曲面中产生。5.2多目标优化问题的基本求解方法多目标优化问题最终获得的解实际上是所有有效解（或称有效解集）中的一个解或确定全部非支配解。多目标优化问题的基本

8、求解方法如下：（1）约束