初中数学——方程思想解题实例.doc

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1、方程思想解题实例一、知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用，我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已

2、知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。二、课堂案例讲练几何中的方程思想在几何中建立等量关系的常用方法有利用勾股定理建立等量关系；利用图形中的线段相等建立等量关系；利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式（一）利用勾股定理建立等量关系例1如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8cm，AD=BC=10cm，求EC的

3、长．解析：想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长解：设EC的长为xcm，∴DE=（8-x）cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102∴BF=6cm．∴FC=BC-BF=10-6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2∴42+x2=（8

4、-x）2，即16+x2=64-16x+x2，化简，得16x=48．∴x=3．故EC的长为3cm．前思后想：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段，另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.课堂训练：1.有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和8，若将两张纸片交叉重叠，则得到重叠部分面积最小是______4，最大的是_________.2.动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH

5、（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？（二）利用三角形相似的性质建立等量关系例1：有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边

6、上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？解析：（1）利用三角形的面积关系求出AB边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长；（2）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长．前思后想：（1）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；（2）也可根据△ADE∽△ACB或△BFE∽△BCA来解答．课堂训练：1.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：“如图，连接AA′，

7、BB′，因为AO=A′O，BO=B′O，所以．又∠1=∠2，所以△AA′O∽△BB′O，有，因为AO=1.25，BO=16.5，AA′=0.85，所以，解得BB′=11.22，即长臂端点B升高了11.22m”．你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．2．如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．3.如图3，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个

8、单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．ADCBMN图3（1）求的长．（2）试探究：为何值时，为等腰三角形．（三）利用线段相等建立等量关系例1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形