借助泰勒展开式,秒杀几道压轴题.pdf

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1、2015年第1期中学数学研究·39·直角坐标系中分别画出函数(±1，0)，舍去．当a>0时，函数Y=ax。与Y=3x1一1必有一个交点在第三象限，舍去．Y=一与Y=口一3的图像＼。lO／于一当a<0时，要使得两函数图像只有一个交点，(图5)，由题意可知两函数交且交点横坐标大于0，那么只要使得两函数的图像点唯一且交点的横坐标大于在第二象限内没有交点，考虑临界情况，不妨设两个0；由此可知直线的斜率必为图像切于同一点A(x。，Yo)，那么有负，下只要求临界情况，即当直线与曲线在第三象限相切t。：。’解得Xo：一1，。：_2．图5k=3ax=6x0，时的情形．综上可知，由图像的性质可知满足题意的

2、参数设切点为(，Yo)，则a的取值范围为a<一2．评注：解法4—5中，主要体现了“以形助数”的思想，从图形上发掘足够的信息；两种不同的函数构{二。一3=一’解孚。=一，。=一2·造思路中，呈现出一个共同的分析思维切入点——临界条件，曲线的切线方程这个知识点是平时经常因此，由图像的性质可遇到的，即把未知问题转化为已经解决的问题．知，直线的斜率a的范围为a结语文中解法1代数味很浓，后几种解法则<一2．几何味十足．代数法要求以理为先，重在说理；几何解法5：由题意可知)。法则体现了以据为先，重在释理，两种方法分别将=0一3x+1=0只有唯一“数”的特色和“形”的魅力展现到极致．因此，在解正根，习

3、么有口=3x一1，题过程中，不同的审视角度决定不同的思维策略，这在平面直角坐标系中分别画·需要平时通过不断地思考、反思并积累解题经验，方出函数Y=0与Y=3x一1能培养良好的思维品质．的图像(图6)．当a=0时，函图6数Y=ax’与Y=3x一1交于●}1E(●三<1E(1}●}1E(1E(●}—．．E(—∈(1E(1E(—．∈(1E(1∈(11—1．．E(1．．E(1E(●}1E(．．E(—}．．1}．．．．}—三(1}●三(1∈(．．E(1}●∈(1}．．E(1}．．E(●∈(借助泰勒展开式，秒杀几道压轴题江苏省扬州市新华中学(225009)龚海滨江苏省扬州中学(225009)戚有建1

4、考题展示／，()=e+()>0，故厂()在(一1，+∞)考题1(2013年新课标全国卷Ⅱ理科21题)上递增，由于厂(0)=0，故当∈(一1，0)时，厂()已知函数．厂()=e一ln(+m)．(1)设=0是)的极值点，求m，并讨论<0；当∈(0，+∞)时()>0，所以)在)的单调性；(2)当m≤2时，证明)>0．(一1，0)上递减，在(0，+。。)上递增．点评：本小问重点考查用导数研究单调性，这是解析：(1)厂()=e一÷十m，由题意得厂(0)导数最重要的应用，另外在解题过程中，需要通过=0，解得m=1，检验符合要求，所以m=1．故“二次求导”来处理，这是近年来高考导数题的一个新趋向．I厂

5、()=e一，定义域为(一1，+∞)，因此(2)由于当m≤2时，In(+m)≤In(+2)，故只要证明：当m=2时，，()>0，所以只要证明：·40·中学数学研究2015第1期当肌=2时√()>0．此时()=e一ln(+所以g()i=趴_19=一寺，故g()=lnx≥2)，定义域为(一2，+。。)，故厂()=e一，因一(当且仅当：时取等号)．设()=一eee此厂()=e+()。>0，所以厂()在(一2，(>0)，则，()：L，，当∈(0，1)时，+∞)上递增，又(一1)：÷一1<0(0)=1h’()>0，故g(x)在(0，1)上递增；当∈(1，>0，故厂()=0在(一2，+。。)内有唯一实

6、数根+∞)时，()<0，故g(x)在(1，+∞)上递减；。，且。∈(一1，0)，于是当∈(一2，)时()所以()=(1)一1故()=一2≤<0；当∈(，+o。)时()>0，所以八)i：，／寺一三，e。=一ln(x。+2)，代入()式得)min=f(xo)=(>0)，所以命题得证．e==譬所点评：本题中，我们构造了两个函数g()，以命题得证．h()，加强为证明g()i>h()，这里需要特别点评：本题中我们将不等式恒成立问题转化为指出的是

7、，g(x)i>h(x)实际上是g(x)>h(x)函数最值问题，即将“当m≤2时)>O”转化为的充分条件，而非充要条件．“当m=2时)i>0”，而在求最值的过程中遇2“秒杀”解法上面的解法是标准答案上提供的解法，下面我到‘()=e一在(一2，+。。)上的零点不方们借助重要的函数不等式e≥+1，来“秒杀”这两便求出”的困难，这里需要“设而不求”来处理，这道高考题．先来研究考题1的第(2)问．也是近年来高考导数题的一个新趋向，值得关注．证