正态分布的概念及表和查表方法.doc

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1、正态分布概念及图表正态分布（Normaldistribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态

2、分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。中文名正态分布外文名normaldistribution发现者棣莫弗所属学科概率论又 名高斯分布应用领域数学、物理及工程等领域目录1 历史发展2 定理3 定义▪一维正态分布▪ 标准正态分布4 性质5 分布曲线▪ 图形特征▪ 参数含义6 研究过程7 曲线应用▪ 综述▪ 频数分布▪ 综合素质研究▪ 医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布

3、又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810

4、年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差”之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高

5、斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性）为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。定理由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态

6、分布转化成标准正态分布。 若 服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例）。定义一维正态分布若随机变量  服从一个位置参数为 、尺度参数为  的概率分布，且其概率密度函数为 f(-x)=1–f(x)则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作  ，读作  服从  ，或 服从正态分布。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，

7、例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“二维正态分布”。标准正态分布当 时，正态分布就成为标准正态分布性质正态分布的一些性质： （1）如果  且a与b是实数，那么  (参见期望值和方差)。（2）如果  与  是统计独立的正态随机变量，那么：它们的和也满足正态分布 它们的差也满足正态分布 U与V两者是相互独立的（要求X与Y的方差相等）。（3）如果  和  是独立常态随机变量，那么：它们的积XY服从概率密度函数为p的

8、分布。 其中  是修正贝塞尔函数（modifiedBesselfunction）它们的比符合柯西分布，满足 （4）如果  为独立标准常态