2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破5 函数、导数、不等式的综合问题 理.doc

《2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破5 函数、导数、不等式的综合问题 理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、必考问题5　函数、导数、不等式的综合问题　(2012·山东)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2.解　(1)由f(x)＝，得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x

2、)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0.又ex＞0，所以x∈(0,1)时，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)因为g(x)＝xf′(x)，所以g(x)＝(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，由(2)得，h(x)＝1－x－xlnx，求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－2)．所以当x∈

3、(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1，所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.综上所述结论成立．9导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解

4、决问题的能力．解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.常考查：①确定零点，图象交点及方程解的个数问题；②应用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围．该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现．主要考查学生转化与化归、数形结合思想，以及运用所学知识解决问题的能力．【例1】►已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图

5、象有3个交点，求b的取值范围．[审题视点]　　[听课记录][审题视点](1)由f′(3)＝0求a；(2)由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求函数f(x)的单调区间；(3)求f(x)的极值，结合图象可确定b的取值范围．解　f(x)的定义域：(－1，＋∞)．(1)f′(x)＝＋2x－10，又f′(3)＝＋6－10＝0，∴a＝16.经检验此时x＝3为f(x)极值点，故a＝16.(2)f′(x)＝＋2x－10＝＝.当－13时，f′(x)>0；当1

6、－1,1)，(3，＋∞)，单调减区间为(1,3)．(3)由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3，＋∞)上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0.所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21.因为f(16)>162－10×16>16ln2－9＝f(1)，f(e－2－1)<－32＋11＝－21

7、

8、＋x＋a在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．解　(1)函数的定义域为(－1，＋∞)，因为f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)，所以f′(x)＝2＝，由f′(x)＞0，得x＞0；由f′(x)＜0，得－1＜x＜0，所以，f(x)的递增区间是(0，＋∞)，递减区间是(－1,0)．(2)方程f(x)＝x2＋x＋a，即x－a＋1－2ln(1＋x)＝0，记g(x)＝x－a＋1－2ln(1＋x)(x＞－1)