圆锥曲线的中点弦问题.pdf

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1、圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题22xy例1过椭圆1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线164方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：2222(4k

2、1)x8(2kk)x4(2k1)160又设直线与椭圆的交点为A(x,y)，B（x,y），则x,x是方程的两个根，于是11221228(2kk)xx，1224k12x1x24(2kk)又M为AB的中点，所以2，224k11解得k，2故所求直线方程为x2y40。解法二：设直线与椭圆的交点为A(x,y)，B（x,y），M（2，1）为AB的中点，1122所以xx4，yy2，12122222又A、B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，11222222两式相减得(xx)4(yy)0，

3、1212y1y2x1x211所以，即k，ABxx4(yy)221212故所求直线方程为x2y40。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-x,2y)，22x4y16因为A、B两点在椭圆上，所以有，22(4x)4(2y)16两式相减得x2y40，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x2y40。二、求弦中点的轨迹方程问题22xy例2过椭圆1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。6436解法一：设弦

4、PQ中点M（x,y），弦端点P（x,y），Q（x,y），11221圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品229x116y15762222则有22，两式相减得9(x1x2)16(y1y2)0，9x16y57622又因为xx2x，yy2y，所以92x(xx)162y(yy)0，12121212y1y29xy09xy所以，而k，故。PQxx16yx(8)16yx81222化简可得9x72x16y0（x8）。x8y11解法二：设弦中点M（x,y），Q（x,y），由x，

5、y可得x2x8，y2y，1111222222x1y14(x4)4y又因为Q在椭圆上，所以1，即1，6436643622(x4)y所以PQ中点M的轨迹方程为1（x8）。169三、弦中点的坐标问题2例3求直线yx1被抛物线y4x截得线段的中点坐标。2解：解法一：设直线yx1与抛物线y4x交于A(x,y)，B(x,y)，其中点1122yx1P(x0,y0)，由题意得2，y4x22消去y得(x1)4x，即x6x10，xx12所以x3，yx12，即中点坐标为(3,2)。0002

6、2解法二：设直线yx1与抛物线y4x交于A(x,y)，B(x,y)，其中点P(x,y)，1122002y14x122由题意得2，两式相减得y2y14(x2x1)，y4x22(yy)(yy)2121所以4，xx21所以yy4，即y2，xy13，即中点坐标为(3,2)。12000上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论22引理设A、B是二次曲线C：AxCyDxEyF0上的两点，P(x0,y0)为弦AB2圆锥曲线中的典型问题与处理方法——数学之家出品的

7、中点，则2AxD0k(2CyE0)AB02CyE0。22(x,y)(x,y)AxCyDxEyF0设A11、B22则1111……（1）22AxCyDxEyF02222……（2）(1)(2)A(xx)(xx)C(yy)(yy)D(xx)E(yy)0得1212121212122Ax(xx)2Cy(yy)D(xx)E(yy)0∴0120121212(2AxD)(xx)(2CyE)(yy)0∴012012y1y22Ax0Dk2Ax0DAB∵2Cy0E0

8、∴x1x2∴x1x22Cy0E即2Cy0E。(x,y)（说明：当AB时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P00的切线斜率公式，2AxD0k2CyE即0）22