鲈鱼体重与胸围的关系.doc

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1、鱼的质量估计摘要一、问题重述垂钓的乐趣在于休心，放生的乐趣在于养性。一垂钓俱乐部为鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的质量给予奖励。由于俱乐部只准备了一把用于测量鱼的身长和胸围（鱼身的最大周长）的软尺，于是众垂钓者开始考虑根据测量的长度估计鱼的质量的方法，希求体味到垂钓更大的乐趣。因此，利用应用软件找到所测长度与鱼的质量的变化规律，显得尤为重要。二、问题分析想要找到按照测量的长度估计鱼的质量的方法，我们可以先运用机理分析的方法定性分析这三者之间的关系。根据常识，在正常情况下，鱼的质量与其身长成正比，与其胸围也成正比，题中

2、所给数据也可证明这一点。由此，我们有三种设想：①鱼的质量只与身长有关；②鱼的质量只与胸围有关；③鱼的质量是与身长和胸围同时相关的二元函数。对以上三种设想分别建立模型，说明其是否合理。然后根据题中数据，画出散点图，并通过拟合，确定相应参数。最后，用几组数据进行检验，判断所得结果是否合理。三、模型假设1.假设鱼池中只有某一类的健康鲈鱼。2.假设鱼池中鲈鱼的数量足够多，以便多测数据，确保结果的真实性。3.假设所有鲈鱼的密度均相同。4.假设鲈鱼的体型较规则。四、符号说明L：鲈鱼的身长W：鲈鱼的质量C：鲈鱼的胸围五、模型的建立与求解1.模

3、型1（1）问题分析1)针对设想①，为了找到鱼的质量与身长的关系，可以建立弹性梁模型，再利用类比的方法，得之。2)弹性力学中研究的弹性梁模型如下：图1将鱼假想成有四肢的动物，以便更好地利用弹性梁模型研究。把鱼的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面面积s，如图1所示。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。鱼在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究(1)因为，所以(2)b/l是鱼躯干的相对下垂度。b/l太大,四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支

4、撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化,对于每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，换句话说，b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数，于是由(2)式得到(3)再从，，以(3)式代入可得即体重与躯干长度的4次方成正比。这样，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出的体重了。3)由于鱼本身并没有四肢，必须去掉前面假设的四肢，这样会导致其质量的减少。但是，因为减少的质量相对于躯干是平均分配的，所以对我们得到的模型并无影响。（2）模型的建立与求解利用Matlab作出身长与体重的散点图

5、如下：对所得散点图用四次多项式进行拟合得到函数表达式为：利用所得函数计算估测鲈鱼的体重与实际值比较得到如下表：表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表重量（g)76548211627374821389652454估算值（g）728.4477.41122.6728.4452.21343.5640.4452.2相对误差（%）4.780.953.391.176.183.281.780.40平均相对误差：2.74125%从拟合图中可以看出，质量与身长只是在小范围内成正比，并非适用于所有情况，所以该模型不是特别合理。2.模型2（1）问题分

6、析针对设想②，为了找到鱼的质量与胸围的关系，我们可以根据题中所给数据，用Matlab软件作出散点图，通过拟合，得到两者的关系。（2）模型的建立与求解利用Matlab作出胸围与体重的散点图如下：对所得散点图进行拟合得到函数表达式为：表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389拟合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差（%）4.131.6

7、07.866.556.392.507.982.81平均相对误差：4.9775%由于误差接近5%，可能导致估计结果不能准确反映实际情况。3.模型3（1）问题分析实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单独影响，因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。（2）模型的建立与求解此模型的建立是基于假设——鲈鱼的体态用与胸围等周长的两段圆锥形来近似，两队圆锥体的高之和等于鲈鱼的身长。依据鲈鱼的身体结构，我们假设两段圆锥体的高度比为2:5，即L+L=L。因为圆锥体的体积等于底面积乘高再乘以，底面积可以用周长表示：.因此可以分析得出.又物体

8、质量等于密度与体积的乘积，因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：，问题转化为对系数的求解。根据已知数据，利用MATLAB软件求解，得到：0.0327因此，利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表：表三、重量估计值及相对误差重量（g