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时间：2020-06-13
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1、求正十二面体和正二十面题的体积正十二面体正二十面体正十二面体是由12个正五边形组成，正二十面体是由20个正三角形组成.要求这两个正多面体的体积，先假设多面体的中心为点，这样问题就转化为：求为顶点的12个全等的五棱锥的体积和与为顶点的20个全等的三棱锥的体积和.而求五棱锥的体积和三棱锥的体积就需要求出正十二面体和正二十面体的相邻的二面角大小.先来证明一个引理：在三面角中，设，，，.如下图所示如图建系，其中，平面P，则，问题就转化为求.假设，由，可以求得方向的单位向量为再由，也就是已知三面角和，可以求出二面角的大小，即①其中二面角和相对.看正十二面体
2、，假设正五边形的边长为，正五边形每个角的大小都为，而每个顶点都有3个正五边形围绕.可以令，由式①得而所以解得，从而，，代入有也就是说正十二面体的二面角大小的余弦值为.可以求得每个正五边形中心到一边中点的距离，而正五边形的面积，中心点到每个正五边形的中心距离.再由半角公式从而.再看正二十面体，令，可得二面角每个正三角形的面积，正三角形中心到边的距离，中心点到每个正三角形中心的距离.这样就可以求出单位正二十面体的体积.
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