独立增量过程.ppt

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1、一、独立增量过程二、泊松过程三、维纳过程四、高斯过程（正态过程）第十章随机过程及统计描述一、独立增量过程1．定义设{X(t),t0}为一随机过程,对于0s

2、则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐次的或时齐的。即：增量X(t)－X(s)的分布函数实际上只依赖于时间差t-s，而不依赖于t与s本身,即与观察的起始时刻无关。2．独立增量过程的性质(1)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的有限维分布函数可以由增量X(t)－X(s)，0s＜t的分布确定.证：令Yk=X(tk)-X(tk-1),k=1,2,…,n.t0=0.由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则(2)独立增量过程{X(t),t≧0}在X(0)=0的条件下,{X(t)}的协方

3、差函数为Y1,Y2,…,Yn的联合分布即可确定，而X(t1)=Y1，X(t2)=Y1+Y2，……X(tn)=Y1+Y2+…+Yn，即X(tn)是Y1，…Yn的线性函数，推广结果：Y1,Y2,…,Yn的联合分布确定了{X(t)}的有限维分布函数。证明:记Y(t)=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时，Y(t)也具有独立增量；且Y(0)=0,E[Y(t)]=0,DY(t)=E[Y2(t)]=DX(t).所以，当0s＜t时，有于是可知对于任意的s,t≧0,协方差函数可表示为：同理，当0t＜s时，有二、泊松过程泊松过

4、程是研究随机质点流的计数性质的基本数学模型之一，是一类重要的随机过程。在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公用事业等领域的许多问题都可以用泊松过程来描述。如：商店接待的顾客流，数字通信中已编码信号的误码流等随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达（或随机发生），则形成一个随机质点流．例如：商店接待的顾客流、等车的乘客流、数字通信中已编码信号的误码流、经过中国上空的流星流、放射性物质所放射出的粒子流、要求在机场降落的飞机流，等等。随机质点流的强度：通常称单位时间内平均出现的质点的个数为随机质点流的强度，记为1.计数过程定

5、义定义1.称随机过程{N(t),t≧0}为计数过程,若N(t)表示[0,t]时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件(1)N(t)≧0；(2)N(t)取整数；(3)若0≤s＜t,则N(s)≤N(t)；(4)当s＜t时,N(t)-N(s)等于在间隔(s,t)上“事件A”发生的次数。例如：若用N1(t)表示某电话交换台在[0,t]内接到的电话呼唤次数；若用N2(t)表示[0,t]这段时间内到达某商场的顾客数；若用N3(t)表示时间[0,t]内某放射性物质放射出的粒子数；若用N4(t)表示在时间[0,t]内某地段出现的

6、交通事故次数等,这些Ni(t)均为计数过程。为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间[0,t]内质点出现的个数。随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.计数过程的一个典型的样本函数如图tN(t)计数过程N(t)是独立增量过程如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。计数过程N(t)是平稳增量过程若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，

7、而与t无关。例：设为N(t)为[0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数，t>=0，N(t)的状态空间为{0,1,2,…}，具有如下性质：(1)N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫；(2)在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关；(3)在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；定义2:称计数过程{N(t),t≧0}为具有参数>0的泊松过程，若它满足下列条件(1)N(0)=0；零初值性(2)N(t)是(平稳)独立增量过程；(3)对于任意的s,t≥0,N(t+s)-N(s)

8、服从参数为t的泊松分布从条件(3)：泊松过程的均值函数为,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称为此过程的强度。令N(s,t)=N(t)－N(s),0≤s0的泊松过程,若它满足下列条件(1)N(0)=0；零初值性(2)