导数及其应教学中的重点如何突破.doc

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1、导数及其应用教学中的重点如何突破导数及其应用的教学重点和难点1．教学重点：（1）导数概念的建立及其几何意义；（2）导数的运算；（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值等性质.2．教学难点：（1）在没有极限的条件下建立导数的概念；（2）体会极限意义下的数学与精确意义下的数学的区别和联系；（3）利用导数研究函数的性质.二、导数及其应用的教学建议（一）没有极限怎样讲解导数的概念？1．以往教材的体现顺序：数列—数列的极限—函数的极限—函数的连续—导数—导数应用—不定积分—定积分（导数作为一种特殊极限处理，有形式化的极限概念），体系相对完整.

2、2．新教材从变化率入手研究导数，用形象直观的“逼近”方法定义导数：从函数的平均变化率到瞬时变化率，再到函数在处的导数，进而到函数在区间内导函数（导数）.这样的好处体现在：（1）避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；（2）更多精力放在对导数本质的理解上；（3）对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解.3．导数概念的建立：（1）平均变化率：对于函数，定义为函数从到的平均变化率.换言之，如果自变量在处有增量，那么函数相应地有增量，则比值就叫做函数从到之间的平均变化率.（2）函数在处的导数：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作

3、，即.（3）函数的导函数（导数）：当变化时，是的一个函数，我们称它为函数的导函数（简称导数），即.例1如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则函数在处的导数_________．通过本例分析，强调导数定义的重要性及数形结合思想的应用.（二）导数的几何意义教学注意事项1．关注对于曲线切线的重新认识：曲线的切线为曲线割线的极限位置.2．导数的几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.3．强调切点的重要性：切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.教学中教师可以设计如下例题：例2（1）求曲线在点处的

4、切线方程；（2）过点作曲线的切线，求切线的方程.对于（1），根据导数的几何意义：函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程.对于（2），注意到点不在曲线上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程.解：（1）曲线在点处的切线斜率为，从而切线的方程为，即.（2）设切点的坐标为.根据导数的几何意义知，切线的斜率为，从而切线的方程为.因为这条切线过点，所以有，整理得，解得，或.从而切线的方程为，或，即切线的方程为，或.通过此例，引导学生关注运用导数求曲线的切线

5、方程，常依据的条件是：①函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即；②切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程.（三）导数的运算教学注意事项1．熟悉导数公式表，即几种常见函数的导数：①（为常数）；②（，）；③；④；⑤；⑥（，且）；⑦；⑧（，且）．2．明确导数的运算法则：①；②；③（）．3．关注简单的复合函数（仅限于形如）的导数：设函数，，则函数称为复合函数．其求导步骤是：，其中表示对求导，表示对求导．对求导后应把换成．教学中教师可以设计如下例题：例3求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）.通过此例题

6、，教师强调理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件.运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：①分析函数的结构特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导数；③化简整理结果.应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量.（如（1）（2）题的方法二较方法一简捷）.对于（3），方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将表示为和的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解.方法二较方法一简捷.对利用基本初等函数的导数

7、公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确.导数在高考中的考查热点，主要集中在下述几方面：1．研究函数性质导数作为研究函数问题的利刃，常用来解决极值、最大（小）值、单调性等三类问题.在求解这些函数问题时，要结合导数的思想与理解性质的基础上，掌握用导数方法求解的一般步骤．在熟练运用导数工具研究函数的性质同时，我们要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.2．证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性.由导

8、数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.3．求解参数范围给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具