高中数学竞赛教材讲义 第九章 不等式讲义.doc

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1、第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>ba-b>0；（2）a>b,b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c；（4）a>b,c>0ac>bc；（5）a>b,c<0acb>0,c>d>0ac>bd;（7）a>b>0,n∈N+an>bn;（8）a>b>0,n∈N+;（9）a>0,

2、x

3、

4、x

5、>ax>a或x<-a;（10）a,b∈R，则

6、a

7、-

8、b

9、≤

10、a+b

11、≤

12、a

13、+

14、b

15、;（11）a,b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x,y,z∈R+，则x+y≥2,x+y+z前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

16、（6）因为a>b>0,c>d>0，所以ac>bc,bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-

17、a

18、≤a≤

19、a

20、,-

21、b

22、≤b≤

23、b

24、，所以-(

25、a

26、+

27、b

28、)≤a+b≤

29、a

30、+

31、b

32、，所以

33、a+b

34、≤

35、a

36、+

37、b

38、；下面再证（10）的左边，因为

39、a

40、=

41、a+b-b

42、≤

43、a+b

44、+

45、b

46、，所以

47、a

48、-

49、b

50、≤

51、a+b

52、，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立

53、，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。二、方法与例题1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论。例1设a,b

54、,c∈R+，试证：对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2【证明】左边-右边=x2+y2+z2所以左边≥右边，不等式成立。例2若a

55、loga(1-x)

56、与

57、loga(1+x)

58、.-9-用心爱心专心【解】因为1-x1，所以loga(1-x)0,=

59、log(1-x)(1+x)

60、=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)>log(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x2<1，所以>1-x>0,0<1-x<1）.所以

61、loga(1+x)

62、>

63、loga(1-x)

64、.（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：

65、要证……，只需证……。例3已知a,b,c∈R+，求证：a+b+c-3≥a+b【证明】要证a+b+c≥a+b只需证，因为，所以原不等式成立。例4已知实数a,b,c满足0(n+1)n.【证明】1）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。2）设n=k时有kk+1>(k+1)k，

66、当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即>1.因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k2+2k+1>k2+2k.显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。（4）反证法。例6设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).【证明】假设ak(k=1,2,…,n-1)中至少有一个正数，不妨设ar是a1,a2,…,an-1中第一个出现的正数，则a1≤0,a2≤0,…,ar-

67、1≤0,ar>0.于是ar-ar-1>0，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1,2,…,n-1)。所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2≥…≥ar-ar-1>0.因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar>0与an=0矛盾。故命题获证。（5）分类讨论法。例7已知x,y,z∈R+，求证：【证明】不妨设x≥y,x≥z.-9-用心爱心专心ⅰ）x≥y≥z，则，x2≥y2≥z2，由排序原理可得，原不等式成立。ⅱ）x≥z≥y，则，x2≥z2≥y2，由排序原理可得，原不等式成立。（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1,C1≥C2,…,Cn-1≥C