(l组合数学)母函数.ppt

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1、ACM程序设计7/30/20211母函数及其应用（Generationfunction）7/30/20212从递推关系说起7/30/20213研究以下多项式乘法：可以看出：x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，…an中取两个组合的全体；同理：x3项系数包含了从n个元素a1，a2，…an中取3个元素组合的全体；以此类推。(8－1)7/30/20214若令a1=a2=…=an=1，在（8-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：（8－2）特例：7/30/20215母函数定义：对于

2、序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数7/30/20216Forexample:(1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。     如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。     序列a0，a1，a2，…可记为{an}。7/30/20217实例分析7/30/20218例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重

3、量，则：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，7/30/20219几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方

4、案有2，称出10克的方案有17/30/202110例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数——因邮票允许重复，故母函数为：7/30/202111概念：整数拆分所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。7/30/202112如何编写程序实现母函数的应用呢？核心问题——关键：对多项式展开7/30/202113以整数拆分为例：观察以下的母函数：…首先思考：如果让你手工计算，你是怎样处理的？实际编程：让计算机按照自己的思路计算即可～7/30/

5、202114#includeusingnamespacestd;constintlmax=10000;intc1[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){intn,i,j,k;while(cin>>n){for(i=0;i<=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++)for(k=0;k+j<=n;k+=i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j<=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}cout<

6、endl;}return0;}7/30/202115主打例题：HDOJ_1398SquareCoinsSampleInput210300SampleOutput14277/30/202116算法分析：典型的利用母函数可解的题目。G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…7/30/202117//HDOJ_1398SquareCoins#includeusingnamespacestd;constintlmax=300;intc1[lmax+1],c2[lmax+1];intmain(){

7、intn,i,j,k;while(cin>>n&&n!=0){for(i=0;i<=n;i++){c1[i]=1;c2[i]=0;}for(i=2;i<=17;i++){for(j=0;j<=n;j++)for(k=0;k+j<=n;k+=i*i){c2[j+k]+=c1[j];}for(j=0;j<=n;j++){c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}}cout<