初中数学竞赛精品标准教程及练习70份初中数学竞赛精品标准教程及练习60解三角形.doc

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（60）解三角形一、内容提要1.　由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2.　解直角三角形所根据的定理(在Rt△ABC中，∠C=Rt∠).①边与边的关系：　勾股定理－－－－――c2=a2+b2.②角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠③边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=，　CosA=,　tanA=,　　CotA=.④互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)=CosA，　Cos(90－A)=SinA，tan(90－A)=CotA,　　Cot(90－A)=tanA.⑤特殊角的三角函数值：　角A的度数0304560

2、90SinA的值01CosA的值10tanA的值01不存在CotA的值不存在10锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3.　解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)①正弦定理：　=2R.　(R是△ABC外接圆半径).②　余弦定理：　c2=a2+b2－2abCosC；b2=c2+a2－2caCosB；a2=c2+b2－2cbCosA.③　互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)=sinA，Cos(180－A)=－cosA，tan(180－A)=－cotA，cotA(180－A)=－tanA.④　S△ABC＝absinC=bcs

3、inA=casinB.4.　与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等.二、例题例1.　已知：四边形ABCD中，∠A＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.　　　求：AC的长.解：延长AD和BC相交于E，则∠E＝30.在Rt△ECD中，∵sinE=,　　∴CE==1÷＝2.　　　EB＝4.在Rt△EAB中，∵tanE=,　∴AB=EBtan30。=.根据勾股定理AC＝＝.又解：连结BD，设AB为x，AD为y.根据勾股定理　　AC2＝x2+22=y2+12.根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60=22＋12－2×2×1Cos12

4、0.得方程组　　解这个方程组，　得　x=.(以下同上一解)例2.　已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.　试写出表示AB的算式.解：设AB为x，BD为y.在Rt△ABD和Rt△ABC中，xCotm=xCotn－a.∴　x=.　　　　　答：山高AB＝.例3.已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，CD＝6，AB＝，BC＝5－.求：AD的长.　　　　　　　　　　解：作AE∥BC交CD于E，　BF⊥AE于F，　CG⊥AE于G..在Rt△ABF中，BF＝Sin45=,　　AF＝BF＝.在Rt△CGE中，GE＝CG

5、tan30=×＝1,∴CE＝2，　ED＝4.∴AE=+5－+1=6，　∠AED＝120.在△AED中，根据余弦定理，得AD2＝62＋42－2×6×4Cos120=76.∴AD＝2.例4.　如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB＝30，∠CAD＝45，∠DBC＝75，∠DBA＝45，AB＝.试求C，D的距离.解：在△ABC中，∵∠ACB＝∠CAB＝30，∴BC＝AB＝,∴AC＝2cos30=3.在△ABD中，∠ADB＝60由正弦定理，　＝，　AD＝×sin45=÷×＝.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝32＋（）2－2×3×Cos45=5∴CD＝

6、.例5.已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8.求证：∠9和∠10相等或互补证明：根据正弦定理，得=.∴sin10=sin9∴∠9和∠10相等或互补.例6.　已知：二次方程mx2－(m－2)x+(m－1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.解：作Rt△ABC斜边上的高CD.则sinA=,sinB=.∵sinA和sinB是方程的两根，根据韦达定理，得sinA+sinB=；(1)sinAsinB=.(2)即=.　　（3）(1)2－2(2)得：　(sinA)2+(sinB)2=()2－

7、.∵sinB=cosA,且(sinA)2+(cosA)2=1，∴()2－=1，m2+7m－8=0,∴m=1，m=－8.由（3）＝＝.∴＝.　当　m=1时，没有意义；　当m=-8时，=.　即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.三、练习601.　填空：①如果从点A对着点B测得仰角是60，那么从点B对着点A测得的俯角是＿＿度.②点C在点D的南偏东25，那么点D在C的方向是＿＿＿＿＿＿.③斜坡AB的坡角是30，那么AB的坡度i=1∶＿