小学六年级数学竞赛讲座 第9讲 数列综合.doc

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1、第九讲数列综合模块一、基础性数列：例1．已知数列4，11，18，25，……，158，那么（1）这个数列的第20个数是；（2）88是这个数列的第个数；（3）这个数列一共有项；（4）将这个数列中所有的数加起来，和是。解：（1）此数列是等差数列，首项a1=4，公差d=7，所以第20个数是a20=4+7×19=137；（2）88=4+7×12，所以88是数列中的第13个数；（3）(158−4)÷4+1=23，所以158是数列的第23个数；（4）S23=。例2．观察下面的数列，找规律填空：（1）2，6，10，14，18，22，，，34；（2）1，3，9，27，81，，7

2、29；（3）1，4，9，16，25，，，64；（4），，12，19，31，50，81，131，212。解：（1）26；30；（2）243；（3）36；49；（4）5；7；第（4）题是斐波那契数列的一种，即从第3个数开始，都等于前2个数的和。模块二、等比数列：例3．（1）等比数列2，，，……的公比为；第5项为；（2）等比数列的通项公式an=5×2n，则其首项为；公比为；（3）每项为正数的等比数列中，a1=2，a3=18，则a5=，a6=；（4）在等比数列an中，若公比q=4，且前3项之和等于21，那么这个数列的第5项a5=。解：（1）公比q=÷2=，第5项a5=

3、2×()4=；（2）a1=5×2=10，公比q=2；（3）因为a3=a1×q2，得18=2×q2，解得q=3，所以a5=2×34=162，a6=162×3=486；（4）前3项的和为a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以a5=44=256.例4．（1）1+4+42+43+…+46=；（2）=。解：（1）1+4+42+43+…+46=；（2）==。模块三、数列综合例5．（1）数列2、9、17、24、32、39、47、54、62、……的第2017项是；（2）一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2018项中有项是整数。解：（1）a1

4、=2，a2=a1+7=9，a3=a2+8=17，a4=a3+7=24，a5=a4+8=32，a6=a5+7=39，a7=a6+8=47，……，所以a3=a1+15=17，a5=a3+15=32，a7=a5+15=47，……，于是a2017=a1+1008×15=15122；（2）公差d=(23−14)÷15=，所以每隔5项数值增加3，即a3=14，a8=17，a13=20，a18=23，…，所以整数项有(2018−3)÷5+1=404（项）。例6．计算：1×1+3×2+5×22+……+19×29=.解：设S=1×1+3×2+5×22+……+19×29，①则2S

5、=1×2+3×22+……+17×29+19×210，②1②−①得S=19×210−(1+22+23+……+210)=19×1024−(1+211−4)=19456−2045=17411.随堂练习1．（1）等差数列2，5，8，11，…，47，50，53一共有多少项？（2）计算7+11+15+…+191+195的和。解：（1）公差d=3，(53−2)÷3+1=18，一共有18项；（2）公差d=4，一共有(195−7)÷4+1=48（项），所以7+11+15+…+191+195==4848.2．找规律填数：（1）1、3、6、10、15、21、；（2）100、81、6

6、4、49、36、、、9.解：（1）21+7=28；（2）25；16；3．在等比数列中，若公比q=4，且前2项之和等于35，求这个数列的第5项。解：a1+4a1=35，所以a1=7，则a5=a1×q4=7×44=7×256=1792.4．计算：2+22+23+24+……+29=。解：2+22+23+24+……+29==210−2=1022.5．把从2017到1000之间的自然数按从大到小的顺序排列起来，形成多位数：5……，从左往右第999个数字是多少？解：2017到1000的每个数都是4位数，999÷4=249……3，从2017开始数250个数是2017−250

7、+1=1768，所以第999个数字是6.