基于最小路径与最小割集的复杂系统可靠性的描述与计算

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1、基于最小路径与最小割集的复杂系统可靠性的描述与计算张国志/杨振海/程维虎【内容提要】本文讨论基于最小路径和最小割集的复杂系统可靠性的描述与计算问题。引入最小路径矩阵与最小刻集矩阵的概念，定义向量间的几种运算，并利用所定义运算给出由子系统可靠度精确表示系统可靠度的解析表达及计算方法。该解析表达非常重要，是复杂系统可靠性理论研究与实际应用的有效工具。【关键词】复杂系统/最小路径/最小割集/可靠度    引言    简单系统是用一个寿命随机变量就可描述的系统。实际系统往往是复合系统，由若干子系统按一定方式连接起来，如串联和并联系统就是众所周知的简单的复合系统。设一复合系统由m个子系统组成，子系统

2、的可靠性分别为 。本文讨论的问题是寻求系统可靠性 和子系统可靠性 的关系，即 表示成 的函数         ψ（·）和系统结构有关，称结构函数。如何寻找结构函数是以往研究的主要问题之一。    对于抽象的复杂系统，常用最小路径或最小割集来描述系统。在研究这类系统中，最小路径与最小割集起着非常重要的作用。R.E.Barlow等在其著作[1]中，曾用最小路径与最小割集的方法对系统的可靠度计算做过尝试，但随子系统数量的增加、结构的复杂，系统可靠性的描述与计算均难于实现。    A.Satyanarayana与A.Prabhakar[2]对于网络系统，结合图论思想给出了一种求系统可靠度的快速算法

3、；J.A.Abraham[3]对于网络系统采用不交化算法确定系统的可靠度；S.Lee[4]，C.Jance与J.Yuan[5]，S.Lee与D.Park[6]等都在网络系统可靠度的计算上做出了重要工作；K.Kobayashi[7]对网络系统给出了一种求最小路径的新方法；武小悦等[8]利用BDD(BinaryDecisionDiagram)算法求解网络系统的不交化最小路经，从而计算系统的可靠度；J.Tang(2001)[9]利用图论与Boolean函数，给出了网络系统可靠度计算的一种方法；S.X.Guo等[10]对由最小路径描述的复杂系统，给出了计算系统可靠度的一种方法。但这些研究成果都没给

4、出具有普遍适用性的系统可靠度的解析表达式，既不方便做统计推断，也不方便于确定子系统的可靠度的变化对系统可靠度的影响及对影响的统计推断。    由于精确计算的困难，也有一些学者在近似计算方面做过了一些工作，如J.S.Provan[11]，F.Beichelt[12]对一类系统给出了系统可靠度的上下限。对于特殊的复杂系统，其可靠度的计算有很多阶段性成果，如M.O.Locks[13]，B.Milczek[14]对一类系统给出可靠度的近似算法；G.Arulmozhi[15]对于一类系统，给出系统可靠度的解析表达式，但表达过于繁琐，表达式中的系数也只能用递推法求得。一旦系数计算有误或计算精度不高，系

5、统可靠性估计误差将会很大。    为克服上述研究不足，本文讨论基于最小路径和最小割集的复杂系统可靠性的描述与计算问题。引入最小路径矩阵与最小割集矩阵的概念，定义向量间的几种运算，并利用所定义的运算给出由子系统可靠度精确表示系统可靠度的解析表达及计算方法。我们给出的解析表达式不但形式简单，也非常重要，是复杂系统可靠性理论研究和实际应用的有效工具。    一、串联系统和并联系统    （一）串联系统         对其他分布，如Weibull分布、伽玛分布等就没有这一性质，只有指数分布才具有子系统和串联系统无故障工作时间属同一分布族。具有这种性质的分布族一定是指数分布族。    串联系统在日

6、常生活和社会实践中经常遇到，如：电池经常串联使用，装饰彩灯是串联的。    （三）并联系统         无论系统多么复杂，只要知道了其结构函数，就可求出系统的可靠性。    （四）表决系统    表决系统是串并联系统的推广。设系统S由m个独立的子系统组成，当有k个或k个以上的子系统失效时系统S才失效，称这种系统为表决系统，通常称为koutofm表决系统，也称m取k系统。显然，串联系统是1outofm表决系统；并联系统是moutofm表决系统，或m取m表决系统[16]。         例1　（表决系统实例—生产备料系统）生产产品A每小时需0.3吨液体原料，有5个泵将其泵入原料储备池，每

7、个泵每小时可泵入0.1吨原料。今用光电开关控制泵：用一束光控制5个开关，当泵入0.3吨时，浮子就自动关闭开关。如在一小时内备足0.3吨原料就完成备料工作。该备料系统就是一个5取3系统。因为只要有3个泵开启，就可完成备料任务。    （五）最小路径和最小割集    当一系统结构较复杂，不是其子系统的串并联结构时，计算其可靠性要使用最小路径和最小割集法。实际上就是将系统表示为它的部分子系统组成的中间系统的串联或并联系统，而不