北大.群论.讲义.王宏利.第2章习题.doc

《北大.群论.讲义.王宏利.第2章习题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章习题1．设A(g)是群G＝{g}的一个表示，证明：复共轭矩阵A*(g)也是G的一个表示。当A(g)是不可约的或幺正的，则*A(g)也是不可约的或幺正的。2．设A(g)是G＝{g}的一个表示，证明：转置逆矩阵[At(g)]－1、厄密共轭逆矩阵[A＋(g)]－1也是G的表示，并且当A(g)是不可约的或幺正的，则它们分别也是不可约的或幺正的。试问[At(g)]、[A＋(g)]也是G的表示吗？3．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，C是G中一个共轭类，λ为常数，E为单位矩阵，证明：ΣgÎCA(g)＝λE。4．证明群G中属于同一类的各元的表示矩阵之和，

2、必与群G的一切元的表示矩阵对易。5．求三阶群的所有不等价不可约表示。6．设A(g)是有限群G的一个不可约表示，B(g)是G的一个一维非恒等表示，证明：A(g)ÄB(g)也是G的一个不可约表示。7．设V＝{e,a,b,c}是满足如所示乘法表的4阶群，求V的所有不等价不可约表示。eabcEeabcAaecbBbceaCcbae8.求出D3群的所有不等价不可约酉表示，并检验群表示的正交定理。9求出D3群在二次齐次函数空间中的群表示，求出它所包含的不可约表示。10.写出4阶循环群的左正则表示和右正则表示。11．设Ap(g)和Ar(g)是群G的两个不等价不可约

3、表示，证明：直积表示Ap(g)ÄAr*(g)不包含恒等表示，而Ap(g)ÄAp*(g)包含恒等表示一次且仅一次。12．求正三角形对称群D3的群表示，表示空间为三维线性函数空间，其基底为：f1(q)=cos2q,f2(q)=sin2q,f3(q)=Ö2cosqsinq，并将其约化为不可约表示。13．求正三角形对称群D3的子群{e,a}的恒等表示所诱导的表示，它包含哪些不可约表示。14.求出D3群所有不可约表示的直积，并把它们约化为不可约表示的直和。