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1、跨越千年的智慧——微积分PB08207212姚翰良庄子的《南华经》，里面有这样一句话：“百尺之杆，日截其半，万世不竭。”在高中初次读到这句话，心里不由一惊，毕竟是千年前的人物，居然能够参悟世界的奥秘，经历时间的冲刷依旧保持正确性，着实不易。在学习微积分的过程中，只有充分地了解概念和方法的使用，才能够在平时的运用中熟练应对并加以方法的创新。（1）五个概念的比较A.极限：设{an}是给定的数列。如果对任意给定的ε>0，存在n0∈N，只要n>n0，就有
2、an-a
3、<ε,称数列{an}收敛于a。B.连续：任给ε>0，存在δ>0，当
4、x-x0
5、<时，
6、f(x)-f(x)
7、<ε
8、。C.一致连续：如果对任给的q>0,存在δ>0，只要x1,x2∈I，及
9、x1-x2
10、<ε,就有
11、f(x1)-f(x2)
12、<ε,则称f(x)在区间上一致连续。D.导数：设y=f(x)在x0的领域中有定义，如果存在，则称它为y=f(x)在x0的导数，记成f’(x)、
13、x0,并称f(x)在x0可导。E.可微：设f(x)在其x0领域有定义，如果有常数A，使：Δy=f(x0-Δx)-f(x0)=AΔx+o(Δx)，则称f(x)在x0可微。F.可积：设y=f(x)在[a,b]上有定义，如果实数A满足：对任何ε>0,有δ>0只有分割
14、
15、T
16、
17、满足
18、
19、T
20、
21、<δ，对任何ξi∈[xi
22、-1-xi](i=1,2,3,4,…,n)都有
23、
24、<ε。称在[a,b]上Rieman可积。记成。总结：在定义的角度上对遇到的知识辨析，可积推出有界，可导推出连续，而一致连续的函数在其定义域上必定使一致连续的（一致连续可以理解为在定义域上的导数使有界的）。然而这些规则在反推的时候则不成立。（在考试中常常出现的连环题就是以此为考点，比如在学习辅导page65例15中对于分段函数在x=0点求连续，之后要在此点求可微，根据可微与可导的充要关系将其转化为可导，并证明导函数连续。）（2）Caught判则在数列和极限方面的比较：Cauchy判则：数列{an}收敛的充分必要条件是：
25、任给>0，存在n0,只要m,n>n0,就有
26、an-am
27、<ε.Cauchy判则：存在的充分必要条件是：任给>0，存在δ>0，当0<
28、x’-x0
29、,
30、x’’-x0
31、<δ时，有
32、f(x’)-f(x’’)
33、<ε.总结：在数列方面的判则可以作为极限判则的“子集”，同时有=l的充要条件是：任意的一个以x0为极限的数列其极限也为l。数列形式的判则在求趋向无穷的时候尤为重要，只要说明在自变量大于某个值的时候，任意两个数小于ε，适用于条件较少的题目。典例：学习辅导page26例30(2)(3)例31.微积分指导page12.例1.1.12和1.1.13(常用在反证法)（3）Lang
34、range中值定理与柯西中值定理的比较：Langrange中值定理：设y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）上可微，则必有ξ∈（a,b）使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。柯西中值定理：设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）上可微，对任意一点x∈（a,b），g’(x)0，则必有ξ∈（a,b），使。积分中值：设f(x)在[a,b]上连续，则必有ξ∈（a,b），使.总结：两者一般用于证明恒等式，而也可以用积分的形式作类似的表示。有时也会遇到在g(x)为特殊值的简化(如：x)但一般为较复杂的形式。典例主要参见学习辅导和微积分指导，在平时的用法中
35、常常配合罗尔定理一起使用，比如学习指导page75例5，并且在这一部分要加强函数建模的能力，题型要求一般为证明存在满足某式子的函数，而该函数往往是两个简单函数相乘得到积的导数(比如:凑成xf(x)的导数，并利用这个辅函数帮助解题)（3）换元法和分部积分在不定积分和定积分中的比较：不定积分：换元积分：设F（x）是f(u)的原函数，u=φ(x)可微，则.第二换元积分:设f(x)在区间I上有定义，x=φ(t)在区间J上可微，φ’(t)x=φ(t)把J映成若在J上f(φ(t))φ’(t)有原函数F（t），则f(x)在I上有原函数F（φ-1（x））。即.分部积分:设u(x)和
36、v(x)都可微，u’(x)v(x)有原函数，则u(x)v’(x)也有原函数，并有。定积分：定理1：设f(x)在[c,d]上连续，[a,b][c,d].如果x=φ(t)在[α,β]上有连续导数，φ（α）=a,φ(β)=b,且当t∈[α,β]时，φ(t)∈[c,d],则。定理2：设u(x)和v(x)在[a,b]上有一阶连续导数，则有.总结：这是微积分解题的工具，必须熟练的运用。同时在变上限的积分中复合函数的积分尤为重要，微积分指导page132.例4.2.2，4.2.3.page5(3)(4).1(2)（4）；两个Newton-Leibniz公式Newton-Lei
