考研冲刺班率论与数理统计讲义.doc

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1、考研冲刺班概率论与数理统计讲义主讲：姚孟臣欢迎使用新东方在线电子教材目录一、概率论部分11.“几何概型”问题12.“图解法”问题33.“事件独立性”问题54.“全概公式”问题55.“事件关系与运算”问题86.“协方差与相关系数”问题87.“独立与相关”问题198.“独立与相关”问题2（既不相关又不独立总结）109.“结论”问题1110.“几何分布”问题1311.“正态分布几个结论”问题1412.“离散型”问题16二、数理统计部分181.点估计：矩法、最大似然法182.区间估计与假设检验20两部分：概率和统计配套讲义《概率论与数理统计讲义（提高篇）》解题步骤：①正确理解题意

2、②分析考核点（重点，涉及）③适当选择方法④作题格式一、概率论部分1.“几何概型”问题例1在长l的线段AB上任意投掷两个质点M和N，则点A离点M比离点N近的概率为()A．B．C．D．1解事件A＝{点A离点M比离点N近}，并且设

3、AM

4、＝x，

5、AN

6、＝y，则0≤x≤l，0≤y≤l，因此Ω＝{(x，y)

7、0≤x≤l，0≤y≤l}，A＝{(x，y)

8、0≤x≤y≤l}，故选择C.例2设平面区域D是由x＝1，y＝0，y＝x所围成，今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在由曲线y＝x2与y＝x所围成的区域D1内的概率．解分两步进行．第一步：先计算任投一点落入D1的概率

9、．根据几何概型，有第二步：设X＝{落入D1内的点数}，有于是P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)例3设随机变量X和Y的联合分布在正方形G＝{(x，y)：1≤x≤3，1≤y≤3}上均匀分布，试求随机变量U＝

10、X－Y

11、的概率密度p(u).解由条件知X和Y的联合密度为以F(u)＝P(U≤u)(－∞＜u＜∞)表示随机变量U的分布函数.显然，当u≤0时，F(u)＝0；当u≥2时，F(u)＝1.设0＜u＜2，则于是，随机变量的密度为例4在长为l的线段上，任意选取两点M和N，求E

12、M－N

13、，D

14、M－N

15、解令Z＝

16、M－N

17、，先求p(z)F(z)＝P(Z≤z)＝P(

18、M－N

19、≤z)

20、＝，p(z)＝F′(z)再求E(Z)和D(Z).例5（1）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max{X，Y}≤1}＝______.答案是：.分析本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题.由题设，可知(X，Y)～U(D)，其中D＝{(x，y)

21、0≤x≤3，0≤y≤3}.解法1P{max(X，Y)≤1}＝P(X≤1，Y≤1)＝P(X≤1)·P(Y≤1)解法2由几何概型可知（2）在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为____.答案是：.分析本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.解设随机取到的两个数为X与Y

22、，则(X，Y)服从正方形区域上的均匀分布.一方面我们可以利用二重积分计算另一方面我们也可以根据几何概型来计算，如图，即2.“图解法”问题例1设事件A、B、C满足P(B)＝2P(A)，P(C)＝3P(A)，并且P(AB)＝P(BC)，则P(A)的取值范围是()A．B．C．D．解由于AAB，于是有x＝P(A)≥P(AB)＝y＝P(BC)利用加法公式，有1≥P(B＋C)＝P(B)＋P(C)－P(BC)＝3x＋2x－y≥3x＋2x－x＝4x≥0即0≤4x≤10≤x≤.故选择D.例2设两个随机事件A，B相互独立，已知仅有A发生的概率为，仅有B发生的概率为，则P(A)＝_______

23、.解所以例3设X～N(2，σ2)，并且P(2＜X＜4)＝0.3，则P(X＜0)＝______.例4设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的(0＜＜1)，数满足P{X＞}＝.若P{

24、X

25、＜x}＝，则x等于(A)(B)(C)(D)u1－α解由题设，可知uα满足P(X＞uα)＝α.可见，若要P(

26、X

27、＜x)＝α，即P(

28、X

29、≥x)＝1－α，而P(X＞x)＝，因此故选择C.3.“事件独立性”问题①定义相互独立②等价定义A.两两独立+与独立（三者之一）B.+或1例设事件A、B、C满足P(AB)＝P(A)P(B)，并且P(C)＝[P(C)]2，则A、B、C()A．一定不是两两独

30、立；B．不一定是两两独立；C．一定是相互独立；D．一定不是相互独立.解由P(C)＝[P(C)]2，我们有P(C)＝0或1故选择C.证明：(1)对于任意的A，由于ACC，P(AC)≤P(C)＝0P(AC)＝0＝P(A)P(C)，即A与C相互独立(2)(C＋)A＝A，P(A)＝P(A)－P(AC)＝P(A)－P(A)P(C)＝P(A)(1－P())＝P(A)P()结论：零(或1)概率事件与任何事件都是相互独立的.4.“全概公式”问题例1袋中装有n只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行n次.已知袋中白球数的数学期