2012年排队论模型.ppt

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1、排队论2012年11月0概述排队论是20世纪初才发展起来的，1905年丹麦哥本哈根的电话工程师爱尔朗最早在电话自动交换机设计上应用了排队论，第二次世界大战之后，排队论在很多领域被广泛采用。排队是日常生活中经常遇到的现象，由于有排队，那么就有顾客要等待了，如果增加服务设备的数量，那么就要增加投资或者发生设备的浪费；如果服务设备太少，那么排队就得不到消散。为了协调好“服务”与“需求”之间的矛盾，就产生了排队论。排队论又称作为随机服务系统理论，是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生排队的现象以及合理协调“服务”与“需求”关系的一种数学理论。

2、排队论仍以概率论为基础，是运筹学的一个重要分支。排队论在交通工程方面有很广的应用，如用于分析交叉口的通行能力；计算交通延误；用于交通工程设施的设计，例如收费站的设计、加油站的设计、停车场的设计、服务区的设计、信号配时的设计等方面。1相关基本概念排队过程的一般表示排队系统的三个组成部分顾客：要求服务的人或物，如要通过交叉口的车辆服务台：为顾客服务的人或物排队：排队机构本身相应地，排队系统模型从三个方面描述排队系统：输入过程、排队规则、服务方式。1相关基本概念排队和排队系统排队系统的三个组成部分输入过程：顾客按照一种什么样的规律到达排队系

3、统。顾客的总体：有限、无限。顾客的到来方式：一个一个到达、成批到达。顾客到达时间间隔：定长输入、泊松输入、爱尔朗输入、G输入。顾客的到达是否相互独立顾客的输入过程是否是平稳的1相关基本概念排队规则：顾客在排队系统中按什么样的规则、次序接受服务。损失制等待制混合制：排队长度有限制、排队时间有限制的服务系统。对于等待制和混合制，排队规则又可以细分为：先到先服务（FCFS）、后到先服务（LCFS）、优先服务（PR）、随机服务（RSS）。服务方式服务台的数量及其排列方式：单通道服务系统（单通道单服务台系统、单通道多服务台串联系统）；多通道服务

4、系统（单路排队多通道服务系统、多路排队多通道服务系统）顾客的服务时间及其分布：定长分布的服务、负指数分布的服务、爱尔朗分布的服务、一般分布的服务。1相关基本概念排队系统的表示方式到达规律/服务规律/服务台的个数/系统容量/顾客源容量/排队规则排队系统的主要数量指标队长：系统中顾客数的期望排队长：系统中排队等待服务的顾客数的期望平均逗留时间：又称为平均消耗时间，指一个顾客在系统中的停留时间的期望值。平均等待时间：又称平均排队时间，指一个顾客在系统中排队等待服务的时间的期望值。服务强度：又称作交通强度或利用系数，是衡量排队系统是否稳定的一

5、个重要指标。忙期：服务台连续繁忙的时间。2生灭过程生灭过程的定义：生灭过程（BirthandDeathProcess）是研究系统内部的状态变化，建立状态概率的过程。生灭过程是随机过程的一种，是研究排队论的重要数学工具。对于排队系统而言，系统中有0个顾客数是一个状态，有1个顾客又是一个状态…。对不同的状态对应到系统中的顾客数不一致，并且各个状态之间是可以转化的。生灭过程是系统的状态随时间变化的过程，关键是建立状态概率方程，确定系统中各个状态的概率。设某个系统，具有0、1、2…个状态，N(t)表示系统在时刻t所处的状态（对于排队系统，即t

6、时刻的顾客数）。在任一时刻，若系统处于状态i，且系统状态随时间变化的过程满足下面3个条件，就称之为一个生灭过程。2生灭过程生灭过程的三个条件在(t,t+t)内系统由状态ii+1的概率为：it+o(t)，其中i0为固定常数，称之为从状态i到状态i+1的转移率〔到达率〕，流的平稳性条件。在(t,t+t)内系统由状态ii-1的概率为：it+o(t)，其中i0为固定常数，并称之为从状态i到状态i-1的转移率〔服务率〕，流的平稳性条件。在(t,t+t)内系统发生两次以上状态转移的概率为o(t)，即有两个以上顾客到

7、达或离开的概率。从生灭过程的定义可知，对于一个排队系统，只要输入过程和服务过程符合泊松流，那么其排队过程肯定符合生灭过程。2生灭过程生灭过程图方框表示系统的状态箭头表示从一个状态向另一个状态的转移箭头上的标志表示状态平均转移率，或称转移流的强度生灭过程图中包含的信息状态各个状态的转出率各个状态的转入率各个状态的服务强度=/，要求服务强度<12生灭过程状态随时间的转移：可以证明，当时间t时，各个状态的概率趋于一个常数。即在系统稳定的情况下，转入率的期望值等于转出率的期望值。状态方程：利用系统稳定时，各状态的转入率平均值等

8、于转出率的平均值建立状态方程。初始状态概率P0的计算：利用正则关系计算，即所有状态的概率总和为1。系统容量有限（最多n+1个状态）：系统容量无限：生灭过程应用举例2生灭过程利用生灭过程求解系统状态概率的步骤根据给定的模型