投放带有免疫力的蚊子对疟疾传播的影响.pdf

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1、第１４卷第２期广州大学学报（自然科学版）Ｖｏｌ．１４Ｎｏ．２２０１５年４月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＧｕａｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ａｐｒ．２０１５文章编号：１６７１４２２９（２０１５）０２００１７０４投放带有免疫力的蚊子对疟疾传播的影响柴丽燕，郭志明（广州大学数学与信息科学学院，广东广州５１０００６）摘要：文章对投放带有免疫力的蚊子的单疟疾模型和２种疟疾模型利用再生矩阵法求得基本再生数，分别讨论它们的无病平衡点、正平衡点的存在性和稳定性，并且探讨了疟原虫在带菌者和寄主内永久共存的条件．关键词：传染病模型；疟疾；基本再生数；无

2、病平衡点；地方性平衡点；稳定性；持久性中图分类号：Ｏ２９文献标志码：Ａ疟疾，是一种严重危害人类健康的虫媒传染型可表示为病．数学模型在疟疾传染病的研究中应用广泛．Ｔ′Ｍ＝ｂＴＮＭ－ｄＭＴＭ，［１］２００９年，代黎曼在假设２种蚊子共存条件下，ＩＨＷ′Ｍ＝ｂＷＮＭ－ｄＭＷＭ－β１ＷＭ，得到野生蚊子和转基因蚊子共存条件，并得出投ＮＨ放有免疫力的蚊子对疟疾传染病的控制有积极作ＩＨＩ′Ｍ＝β１ＷＭ－ｄＭＩＭ，用的结果．２０１３年，ＸＩ领导的研究小组用沃尔巴ＮＨ（１）克氏体（Ｗｏｌｂａｃｈｉａ）细菌感染了斯氏按蚊（疟疾携ＳＨＳ′Ｈ＝ｂＨＮＨ－ｄＨＳＨ－β２ＩＭ＋ｒＩＨ，带者），证明了其有助于

3、更好地控制蚊子向人类传ＮＨ［２－３］播疟疾．２０１３年，ＸＩＡＯ等通过建立人与蚊子ＳＨＩ′Ｈ＝β２ＩＭ－ｄＨＩＨ－ｒＩＨ．的疟疾模型得到２种疟原虫可在同一地方共存，ＮＨ但不可能在同一寄主内共存的结论．２０１４年，郑其中，ＮＭ为蚊子总数；ＮＨ为人群总数；ｂＴ为蚊子［４］波等用沃尔巴克氏体细菌感染蚊子建立模型，交配后有免疫力蚊子的出生率；ｂＨ为人类的出生研究表明此种细菌对传染病有重大影响．虽然有率；ｂＷ为蚊子交配后野生健康蚊子的出生率；ｄＨ关疟疾的研究很多，但目前文献中还没有涉及投为人群的死亡率；ｄＭ为蚊子的死亡率；ｒ为感染放带有免疫力的蚊子对同一地区中以及同一人体人群的恢复率；β

4、１为健康蚊子叮咬已感染人群后内２种疟疾共存的影响．本文主要讨论投放有免被感染的概率；β２为易感人群被已感染蚊子叮咬疫力的蚊子对单种疟疾和２种疟疾模型平衡点稳后感染疟疾的概率．定性的影响，并探讨疟疾在蚊子和人群中永久共因疟疾不能导致蚊子死亡，故蚊子总数不变．存的条件．虽然疟疾可使人致死，但由于人群流动较快，可设人群总数ＮＨ不变，即ＮＭ＝ＴＭ＋ＷＭ＋ＩＭ且ＮＨ＝１单种群模型ＳＨ＋ＩＨ．这样，模型可被简化为Ｔ′Ｍ＝ｂＴ－ｄＭＴＭ，将带有免疫力的蚊子投放入野生蚊子中，可{Ｉ′Ｍ＝β１ＩＨ（１－ＴＭ－ＩＭ）－ｄＭＩＭ，（２）将蚊子分为３类：有免疫力蚊子（ＴＭ），野生健康Ｉ′Ｈ＝β２ｍＩＭ

5、（１－ＩＨ）－（ｄＨ＋ｒ）ＩＨ．蚊子（ＷＭ）和野生感染蚊子（ＩＭ）．人类分为２种：ＮＭ其中，ｍ＝．可知｛０≤ＴＭ≤１，０≤ＩＭ≤１，０≤ＩＨ易感染人群（ＳＨ）和感染人群（ＩＨ）．疟疾传染病模ＮＨ收稿日期：２０１４－１１－１８；修回日期：２０１５－０３－１１基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１３７１１０７）；教育部博士点基金资助项目（２０１２４４１０１１０００１）作者简介：柴丽燕（１９８８－），女，硕士研究生．Ｅｍａｉｌ：Ｌｉｙａｎｃｈａｉ８８１２＠ｈｏｔｍａｉｌ．ｃｏｍ．通信作者．Ｅｍａｉｌ：ｇｕｏｚｍ＠ｇｚｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．１８广州大学学报（自然科学版）第１４卷≤１｝

6、是系统（２）的正不变集．系统（２）的无疾病平３在Ｒ中取范数｜·｜为｜（ｕ，ｖ，ｗ）｜＝ｓｕｐ｛｜ｕｂＴ｜，｜ｖ｜，｜ｗ｜｝．由文献［８］知，这个向量范数诱导衡点是Ｅ０＝（，０，０）．ｄＭ的Ｌｏｚｉｎｓｋｉｉ测度为Ｋ（Ｂ）≤ｓｕｐ｛ｇ，ｇ｝，其中０１２通过下一代矩阵法计算模型（２）的基本再生ｇ１＝Ｂ１１＋‖Ｂ１２‖ｒ，ｇ２＝Ｋ１（Ｂ２２）＋‖Ｂ２１‖ｌ，［５］数．解得‖（ｕ，ｖ）‖ｒ＝ｍａｘ｛｜ｕ｜，｜ｖ｜｝，‖（ｕ，ｖ）‖ｌ＝｜ｕ｜＋｜ｖ｜．Ｒ＝β１β２ｍｂＷ．通过不等式放缩求得０２槡（ｄＨ＋ｒ）ｄＭ１定理１当Ｒ＜１时，无疾病平衡点Ｅ是全ｑ珋＝ｌｉｍｓｕｐｓｕｐＫ０（Ｂ（ｓ））

7、ｄｓ＜０．００ｔ→∞ｘ０∈Ｘ０ｔ局渐近稳定的；当Ｒ０＞１时，无疾病平衡点Ｅ０是由全局渐近稳定性定理［６］得，当Ｒ＞１，β＜ｄ０１Ｍ不稳定的．时，Ｅ是全局渐近稳定的．证明由文献［５］中定理２知，当Ｒ０＜１时，Ｅ０是局部渐近稳定的．当Ｒ０＞１时，Ｅ０是不稳定２２种疟疾模型的．下面只需证：Ｒ０＜１时Ｅ０的全局稳定性．因为｛０≤ＴＭ≤１，０≤ＩＭ≤１，０≤ＩＨ≤１｝，所以下面引入２种有免疫力的蚊子，得到如下模型：将其应用于系统（２）可得，Ｔ′Ｍ１＝ｂＴ１ＮＭ－ｄＭＴＭ１，Ｉ′Ｍ＝β１ＩＨ（１－ＴＭ