麦克斯韦速分布律.doc

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1、麦克斯韦速度分布律本节根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。设气体含有N个分子，体积为V。在§7.2已经说明，气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，而且在宏观大小的容器内，分子的平动能可以看作准连续的变量。因此在这问题上，量子统计理论和经典统计理论给出相同的结果。为明确起见，在本节中我们用经典统计理论进行讨论。玻耳兹曼分布的经典表达式是（7.3.1）在没有外场时，分子质心运动能量的经典表达式为在体积V内，在dpdpdp的动量范围内，分子质心平动的状态数为因此，在体积V内，质

2、心平动动量在dpdpdp范围内的分子数为（7.3.2）参数由总分子数为N的条件定出（7.3.3）将积分求出，整理后可得（7.3.4）将式(7.3.4)代入式(7.3.2)，即可得质心动量在dpdpdp氛围内的分子数为（7.3.5）这结果与h数值的大小无关。如果用速度作变量，以v,v,v代表速度的三个分量px=mv,py=mv,pz=mv代入式(7.3.5)便可得在dvdvdv范围内的分子数为（7.3.6）以n=N/V表单位体积内的分子数，则在单位体积内，速度在v,v,v内的分子数为（7.3.7）函数f(vx

3、,vy,vz)满足条件（7.3.8）式(7.3.7)就是熟知的麦克斯韦速度分布律。引入速度空间中的球坐标v,，,以球坐标的体积元vsindvdd代替直角坐标的体积元dVdVdV，对积分后可得，在单位体积内，速率在dv范围内的分子数为（7.3.9）式(7.3.9)称为气体分子的速率分布。速率分布函数满足（7.3.10）速率分布函数有一极大值，使速率分布函数取极大值的速率称为最概然速率，以表示。如果把速率分为相等的间隔，v所在的间隔分子数最多。v由下式确定（7.3.11）由此得（7.3.12）利用式(7.3.9

4、)还可以求出分子的平均速率和方均根速率v。平均速率是速率v的平均值==（7.3.13）方均根速率v是v的平均值的平方根；=故（7.3.14）式(7.3.12)----(7.3.14)可知，v,和v都与成正比，与成反比。它们之比为以表示摩尔质量：故。因此式（7.3.14）也可以表为（7.3.15）由式（7.3.15）可以计算，例如氮气在的为493。麦克斯韦速度分布率为近代许多实验所直接证实。麦克斯韦速度分布律有广泛的应用。作为一个例子，计算在单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数，称为碰壁数。如图7.1所示，是

5、器壁上的一个面积元，其法线方向沿轴。以表示在时间内，碰到面积上，速率在范围内的分子数。这分子数就是位于以为底，以为轴线，以为高的柱体内，速度在范围内的分子数。柱体的体积是，所以即（7.3.16）对速度积分，从0到，和从到，即可求得在单位时间内碰到单位面积的器壁上的分子数为将麦氏分布代入，求积分得（7.3.17）上式也可表为（7.3.18）由式（7.3.18）可以求得，在1和0下氮分子的每秒碰壁数为3。假设器壁有小孔，粉子可以通过小孔逸出。如果小孔足够小，对容器内分子平衡分布的影响几乎可以忽略，则单位时间内逸

6、出的分子数与碰到小孔面积上的分子数相同。分子从小孔逸出的过程称为泻流。