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1、第五章微扰理论5.1如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解:这种分布只对的区域有影响,对的区域无影响.根据题意知其中是不考虑这种效应的势能分布,即为考虑这种效应后的势能分布,在的区域为在的区域,可由下式其中电场为则有:因此有微扰哈密顿量为其中类氢原子基态的一级波函数为按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为完成上面的积分,需要作作三个形如的积分,用分部积分法,得我们可以计算,但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为,而.所
2、以有于是这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为5.2转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。解:自由空间转子的能级和波函数为对于基态我们选外加电场的方向沿球极坐标的极轴方向(即轴的正向),则微扰哈密顿算符为据此我们求出有用的矩阵元(对基态)上面用到及球谐函数的正交性从上面的计算式可见,微扰矩阵元只有，其余为零.故即基态能级的一级修正为零.基态能量的二级修正为5.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级:及,现在受到微扰的作用,微扰矩阵元为;,都
3、是实数.用微扰公式求能量的二级修正值.解:哈密顿矩阵为:微扰哈密顿矩阵元为:代入能量的二级近似公式则即5.4设在时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似地以平面波表示为,及均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示.求这单色光的最小频率和在时刻跃迁电离态的几率.解:(1)当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为(2)时,氢原子处于基态在时刻,处于电离态微扰其中在时刻跃迁到电离态的几率为对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,其中取电子电
4、离后的动量方向为方向,取,所在平面为面,则有题5.4图所以5.5基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即求经过长时间后氢原子处在态的几率.解:设电场沿方向,则微扰哈密顿为按照微扰论,由状态跃迁到状态的几率决定于而因此,要求得,必须先算出.现在初态为氢原子基态(即1S态)而而终态是简并的,有三个态.即因而有及均为零,这是因为对的积分为零.由此可见,这样的电场作用下,跃迁只发生在从基态(1S)到态,跃迁几率为而:当,所以,长时间后所以5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率.解:
5、从到的每秒自发跃迁几率,由公式关键在于求矩阵元.我们的初态是第一激发态,有一个单态势2S态和三重态2P态.由选择定则,知是禁戒的,故只需要计算的几率.(1)计算矩阵元注:,其中而所以(2)计算矩阵元考虑到及和球谐函数的正交性.所以(3)计算矩阵元考虑到与上面相仿,计算得所以所以(4)求将,其中及代入一开始写出的那个公式,得5.7计算由氢原子处在态跃迁到态时所发出的光谱线强度.解:从跃迁到时的发出的光谱线强度,由公式是为处于态的氢原子数.由上题知,,则有:5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则.解:电偶极矩为的
6、线性谐振子,在电场作用下,即在微扰势作用下,从到的每秒跃迁几率为跃迁选择定则,即的条件,而式中根据厄密多项式的递推公式和厄密多项式的正交性则式中两个与无关的常数.可见只有当和时,亦即时,才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.利用狄拉克符号解此题更容易.已知:只有当和时,亦即时,才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.
