(新课标)高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》课件 新人教A版选修2-2.ppt

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1、1.3.1利用导数判断函数的单调性知识与能力目标:1.理解导数符号与函数的单调性关系;2.会利用导数判断函数的单调性;过程与方法目标:讲练结合、讨论等方法,同时利用提示等方法为学生降低难度情感态度与价值观目标:通过对导数与函数的单调性的关系学习,进一步加强知识的应用能力。教学目标教学重点导数符号与函数的单调性关系,用导数解决函数的单调性;教学难点导数符号与函数的单调性关系。知识链接1.函数的单调性:对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数.

2、对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2.导数的概念及其四则运算课前预习竖直上抛一个小沙袋,沙袋的高度h是时间t的函数,设h=h(t),其图象如图所示。横轴表示时间t,纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为A,其横坐标为t=t0.先考察沙袋在区间(a,t0)的运动情况:根据生活经验,我们知道,在这个区间内,沙袋向上运动,其竖直向上的瞬时速度大于0,即在区间(a,t0),我们说在此区间内,函数h=h(t)是增函数.再考察沙袋在区间(t0,

3、b)的运动情况:在这个区间内,沙袋向下运动,其竖直向上的瞬时速度小于0,即在区间(t0,b),我们说在此区间内,函数h=h(t)是减函数。用函数的导数判断函数单调性的法则:1.如果在区间(a,b)内,f’(x)>0,则f(x)在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增区间;2.如果在区间(a,b)内,f’(x)<0,则f(x)在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减区间;我们可以用s(t)与瞬时速度v(t)的关系来说明这个法则的正确性:当v(t)=s’(t)>0时,s(t)是增函数;当v(t)=s’(t

4、)<0时,s(t)是减函数。我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则;当切线斜率为正时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈上升状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈下降状态.如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总有f’(x)>0,则f(x)在这个区间上是增函数;如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总有f’(x)<0,则f(x)在这个区间上是减函数。例1.如图,设有圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数

5、,它的图象大致是下列四种情况中的哪一种?解:由于是匀速旋转,阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加,中间时段S增速快,图A表示S的增速是常数,与实际不符,图A应否定;图B表示最后时段S的增速快,也与实际不符,图B也应否定;图C表示开始时段与最后时段S的增速快,也与实际不符,图C也应否定;图D表示开始与结束时段,S的增速慢,中间的时段增速快,符合实际,应选D。例2.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f’(x)=(x2-2x+4)’=2x-2.令2x-2>0,解得x>

6、1.∴当x∈(1,+∞)时,f’(x)>0,f(x)是增函数.令2x-2<0,解得x<1.∴当x∈(-∞,1)时,f’(x)<0,f(x)是减函数.例3.找出函数f(x)=x3-4x2+x-1的单调区间。解:f’(x)=3x2-8x+1,令3x2-8x+1>0,解此不等式得或因此,区间为f(x)的单调增区间;令3x2-8x+1<0,解此不等式得因此,区间为f(x)的单调减区间。例4.证明函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数.证明:∵f’(x)=()’=(-1)·x-2=-,∵x>0,∴x2>0,∴-<0.即f’

7、(x)<0,∴f(x)=在(0,+∞)上是减函数.例5.求函数y=x2(1-x)3的单调区间.解:y’=[x2(1-x)3]’=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1)=x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x)令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x<.∴y=x2(1-x)3的单调增区间是(0,)令x(1-x)2(2-5x)<0,解得x<0或x>且x≠1.∵x=1为拐点,∴y=x2(1-x)3的单调减区间是(-∞,0),(,+∞)达标练习1.函数y=3x-x3的单调增区间是(

8、)(A)(0,+∞)(B)(-∞,-1)(C)(-1,1)(D)(1,+∞)C2.设f(x)=x+(x<0),则f(x)的单调增区间是()(A)(-∞,-2)(B)(-2,0)(C)(-∞,-)(D)(-,0)C3.函数y=xlnx在区间(0,1)上是()(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数,在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数,在(0,)

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