多元统计分析复习内容提要.ppt

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1、期末复习提要第二章特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量满足结论：设A是k×k对称矩阵，则A有k对特征值和特征向量且二次型x’Ax(A是对称矩阵)正定矩阵x’Ax>0(A是对称矩阵，x是非零向量)非负定矩阵半正定矩阵x’Ax≥0(A是对称矩阵，x是非零向量)对称矩阵的谱分解定理设A是k×k对称矩阵，l1,e1,l2,e2,…,lk,ek为A的特征值和标准化特征向量，则A可表示为定理：A是正定矩阵A的特征值均>0定理：A是非负定矩阵A的特征值均≥0定理：利用矩阵的谱分解定理可以证明：定理：A是对称矩阵A＝PLP

2、’,(其中P为正交矩阵,L为对角矩阵)随机向量和矩阵E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(AXB)=AE(X)B随机向量的期望(均值向量)随机向量随机向量的协方差矩阵相关矩阵与协方差矩阵其中V1/2称为标准离差矩阵随机变量的线性组合的均值向量和协方差矩阵c’X=c1x1+c2x2+…+cpxp对线性组合c=(c1,c2,…,cp)’X=(x1,x2,…,xp)’其中第三章样本点与样本均值点样本点1样本点2样本点n样本均值向量n×pp×1n×1样本协方差矩阵样本协方差矩阵与样本相关系数矩阵样本标准离差矩阵结论3.1结论

3、3.1总方差样本总方差＝s11+s22+…+spp样本总方差＝tr(S)广义样本方差＝

4、S

5、广义方差标准化广义样本方差标准化广义样本方差＝

6、R

7、广义方差的与标准化广义方差

8、S

9、=s11s22…sspp

10、R

11、变量的线性组合及其样本值结论3.5对两个线性组合b’X的样本均值＝c’X的样本均值＝b’X的样本方差＝c’X的样本方差＝c’X与b’X的样本协方差＝则第四章多元正态密度函数其中：X随机向量pX的分量个数m随机向量X的均值向量S随机向量X的协方差矩阵相关性与独立性若X1和X2服从正态分布，则r(X1,X2)=0X1

12、与X2独立多元正态分布的性质这里结论4.2结论4.2推论多元正态分布的性质结论4.3其中多元正态分布的性质结论4.3其中Cov(X1,X2)=0X1与X2独立多元正态分布的性质结论4.5(子向量的独立性)(a)多元正态分布的性质结论4.7结论：独立和S的分布独立则定义：服从自由度为m的Wishart分布。Wishart分布及其性质独立统计量记为结论样本均值向量和协方差矩阵的大样本特性其中结论(中心极限定理)独立第五章正态总体均值向量的检验假设H0:m=m0；H1:mm01.当S已知时，检验统计量为若，接受H0；若

13、，拒绝H0。推断规则2.当S未知时，S的无偏估计为当H0成立时，相应检验统计量为若，接受H0；若，拒绝H0。推断T2分布与F分布结论当S未知时，多元均值向量假设检验问题当H0成立时，若推断若接受H0，拒绝H0。检验统计量T2的联合置信区间总体均值向量的大样本推断结论5.4设X1,X2,…,Xn为来自均值为m，协方差矩阵正定矩阵S的总体的一个随机样本。当n-p很大时，若观测值则在大约为a的置信水平下拒绝H0：m=m0。注意：1.这里对样本所在的总体没有特别的规定。2.这里所采用的临界值不是T2(a)。第七章经典线性回

14、归模型i样本标号i=1,2,…,nn总体容量b0截距bj偏回归系数，j=1,2,…,rei随机误差符号说明假设经典线性回归模型矩阵形式最小二乘估计结论7.1设Z有满秩r+1n，则多元回归方程y=Zb+e中b的最小二乘估计为回归方程的拟合优度检验若F>Fa(p,n-r-1),则拒绝假设H0;若F

15、1.回归方程的显著性检验2.回归系数的显著性检验若

16、t

17、>ta/2(n-r-1),则拒绝假设H0;若

18、t

19、

20、成份分析是研究在损失最少信息的原则下,通过原来变量的少数几个线性组(主分量)合来分析或解释问题。主成份分析的目：1.简化数据，减少变量个数消除变量间相关关系的影响2.揭示变量间的关系。主成分分析定理8.1S特征值及其相应的特征向量则第i主成份为且有随机向量X’＝(X1,X2,…,Xp)协方差矩阵S=cov(X)主成分分析决定主成分个数的原则参考特征值碎石图按