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1、浅谈树型动态规划中山市华侨中学——李彦亭一、什么是树型动态规划顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向既向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：1．根—>叶：不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多，也没有比较明显的例题，所以不在今天讨论的范围之内。2．叶－>根：既根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多，下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。二、例题与解析加
2、分二叉树【问题描述】设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；（1）tree的最
3、高加分（2）tree的前序遍历【输入格式】第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。【输出格式】第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。【输入样例】5571210【输出样例】14531245[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],
4、value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j],value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j],value[j,j]+value[i,j-1]}题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示[PASCAL源程序]{$N+}programNOIP2003_3_Tree;constmaxn=30;vari,j,n,d
5、:byte;a:array[1..maxn]ofbyte;value:array[1..maxn,1..maxn]ofcomp;root:array[1..maxn,1..maxn]ofbyte;s,temp:comp;f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;procedurepreorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}beginifp2>=p1thenbeginwrite(f2,root[p1,p2],'');preorder(p1,root[p1,p2]-1);preorder(root[
6、p1,p2]+1,p2);end;end;beginwrite('InputfileNo:');readln(fileNo);fn1:='tree.in'+fileNo;fn2:='tree.ou'+fileNo;assign(f1,fn1);reset(f1);assign(f2,fn2);rewrite(f2);readln(f1,n);fori:=1tondoread(f1,a[i]);close(f1);fillchar(value,sizeof(value),0);fori:=1tondobeginvalue[i,i]:=a[i];{计算
7、单个节点构成的二叉树的加分}root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点}end;fori:=1ton-1dobeginvalue[i,i+1]:=a[i]+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0
8、或2，则最后输出的前序遍历结果是唯一的。}end;ford:=2ton-1dobegin{依次计算间距为d的两个节点构成的
