会计自考《线性代数》复习资料.doc

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1、第一章行列式1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式与三阶行列式Ø用加减消元法解二元一次方程组：（1.1）得方程组的唯一解为：x1=x2=Ø为了便于记忆方程组（1.1）的解，引入记号D2==ad-bc，称之为二阶行列式这样，二元一次方程组（1.1）的解可以用二阶行列式表示为x1=x2=Ø在讨论三元一次方程组时，引入三阶行列式这一工具，三阶行列式定义为D3==a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32Ø特殊的行列式（称为三角行列式）===ad===—bc==abc==—

2、abcØ二阶行列式和三阶行列式的关系：D3==—+（1.2）引进如下三个二阶行列式：M11=M21=M31=记Ai1=(-1)i+1Mi1(i=1,2,3)，即A11=M11，A21=-M21，A31=M31称Mi1为元素在D3中的余子式，称Ai1为元素在D3中的代数余子式，由公式（1.2）可以知道三阶行列式的计算公式可以简写成D3=M11-M21+M31=A11+A21+A31把它称为D3按其第一列的展开式，简写为D3==1.1.2n阶行列式定义1.1.1Dn=a11A11+a21A21+…+an1An1此式称为Dn按第一列的展开式，由余

3、子式和代数余子式的关系可得Dn=a11M11—a21M21+…+（-1）n+1an1Mn1Ø上三角行列式和下三角行列式1、上三角行列式Dn==…2、下三角行列式Dn=1.2行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式展开定理）1、D按第i行的展开式=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+…+(-1)i+nainMin（i=1,2,…,n）2、D按第j列的展开式=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=(-1)1+ja1jM1j+(-1)2+ja2jM2j+…+(-1)n+j

4、anjMnj（j=1,2,…,n）1.3行列式的性质与计算1.3.1行列式的性质性质1行列式和它的转置行列式相等，即D=DT性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，行列式可以按行和按列提出公因数注意必须按行或按列逐次提出公因数Ø任意一个奇数阶反对称行列式必为0，反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号，即若D=

5、aij

6、n是反对称行列式，则它满足条件aij=—aij，i，j=1,2，…，n性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号推论如果行列式中有

7、两行（列）相同，则此行列式的值等于0性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于0性质5行列式可以按行（列）拆开（应当逐行、逐列拆开）=性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D定理1.3.1n阶行列式D=

8、aij

9、n的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于01.3.2行列式的计算1.4克拉默法则定理1.4.1Ø含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为（1.3）它的系数构成的n阶行列式D=称为方程组（1.3）的系数行列式定理1

10、.4.2（克拉默法则）如果n个方程的n元线性方程组（1.3）的系数行列式D=

11、aij

12、n≠0，则方程组（1.3）必有唯一解，Xj=，j=1,2，…，n，其中Dj是将系数行列式D中第j列元素a1j，a2j，…，anj对应地换为方程组的常数项b1，b2，…，bn得到的行列式。说明：在用克拉黙法则求解线性方程组时，要求方程的个数与未知量的个数相等Ø如果n元线性方程组（1.3）的常数项b1，b2，…，bn均为零，即则称之为齐次线性方程组定理1.4.3如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它只有零解。Xj=，由于行列式Dj的第j列元素全为零，因此D

13、j=0，所以齐次线性方程组仅有零解。Øn个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。第二章矩阵2.1线性方程组与矩阵的定义2.1.1线性方程组含n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组，它的一般形式为(2.1)方程的个数m与未知量的个数n可以相等，也可以m>n或m

14、一个方程Ø对于一个线性方程组可以只写出它的系数和常数项，并把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵。只列出方程组中未知量系数的表称为方程组的系数矩阵。2.1.