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《高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)第四几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，=ax是减函数，当a>1时，=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。2．分数指数幂：。3．对数函数及其性质：形如=lgax(a>0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，=lgax为减函数，当a>1时，=lgax为增函数。4．对数的性质（>0,N>
2、;0）；1）ax=x=lg&nt;a(a>0,a1)；2）lg&nt;a&nt;(N)=lg&nt;a+lg&nt;aN；3）lg&nt;a（）=lg&nt;a-lg&nt;aN；4）lg&nt;an=nlg&nt;a；，）lg&nt;a=lg&nt;a；6）alg&nt;a=;7)lg&nt;ab=(a,b,>0,a,1)函数=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a<b,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有
3、一个实根。二、方法与例题1．构造函数解题。例1已知a,b,∈(-1,1)，求证：ab+b+a+1>0【证明】设f(x)=(b+)x+b+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）因为f(-1)=-(b+)+b+1=(1-b)(1-)>0，f(1)=b++b+a=(1+b)(1+)>0，所以f(a)>0，即ab+b+a+1>0例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）̶
4、6;（）≥()2，等号当且仅当存在R，使a&nt;i=,i=1,2,…,n时成立。【证明】令f(x)=（）x2-2()x+=,因为>0，且对任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0展开得（）()≥()2。等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a&nt;i=,i=1,2,…,n。例3设x,∈R+,x+=,为常数且∈(0,2]，求u=的最小值。【解】u==x+≥x++2•=x++2令x=t，则0<t=x≤,设f(t)=t+,0<t≤因为0<≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上单调递减。所以f(t)in=
5、f()=+，所以u≥++2当x==时，等号成立所以u的最小值为++22．指数和对数的运算技巧。例4设p,q∈R+且满足lg9p=lg12q=lg16(p+q)，求的值。【解】令lg9p=lg12q=lg16(p+q)=t，则p=9t,q=12t,p+q=16t，所以9t+12t=16t，即1+记x=，则1+x=x2，解得又>0，所以=例对于正整数a,b,(a≤b≤)和实数x,,z,，若ax=b=z=70，且，求证：a+b=【证明】由ax=b=z=70取常用对数得xlga=lgb=zlg=lg70所以lga=lg70,lgb=lg70,lg=lg70，相加得
6、(lga+lgb+lg)=lg70，由题设，所以lga+lgb+lg=lg70，所以lgab=lg70所以ab=70=2××7若a=1，则因为xlga=lg70，所以=0与题设矛盾，所以a>1又a≤b≤，且a,b,为70的正约数，所以只有a=2,b=,=7所以a+b=例6已知x1,a1,a1,1且lgax+lgx=2lgbx，求证2=(a)lgab【证明】由题设lgax+lgx=2lgbx，化为以a为底的对数，得，因为a>0,a1，所以lgab=lga2，所以2=(a)lgab注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。3．指数与对
7、数方程的解法。解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。例7解方程：3x+4x+x=6x【解】方程可化为=1。设f(x)=,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3例8解方程组：（其中x,∈R+）【解】两边取对数，则原方程组可化为①②把①代入②得(x+)2lgx=36lgx，所以[(x+)2-36]lgx=0由lgx=0得x=1，由(x+)2-36=0(x,∈R+)得x+=6，代入①得lgx=2lg，即x=2，所以2+-6=0又>0，所以=2,x=4所
8、以方程组的解为例9已知a
