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时间:2020-05-13
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1、数学论文之巧求初相角速解题 巧求初相角速解题 ◎王卫华求初相角是高中数学学习中的一个重要知识点,也是一个难点,涉及到求初相、相位、求三角函数解析式、分析图象性质、图象变化等题型,本文专门谈谈怎样求初相角.一、反代法例1.(2003年全国高考文科题)函数y=sin(x+φ)(0≤x≤π)是R上的偶函数,则φ=()A.0B.π4C.π2D.π解:把φ=0,π4,π2,π分别代入原函数验证,可知仅当φ=π
2、2时为偶函数,故选C.说明:一般的,如果题目是选择题,可用反代法的思路将选择枝代入检验,这可以大大节约时间,提高命中率.二、巧用图象与函数式之间的联系速求初相角例2.已知如图是函数y=2sin(ωx+φ)的图象(其中φ<π2),那么()A.ω=1011,φ=π6B.ω=1011,φ=-π6C.ω=2,φ=π6D.ω=2,φ=-π6解:观察各选择答案可知,应有ω>0,观察图象可看出,应有T=2πω<2π,∴ω>1,故可排除A与B,由图象还可看出,函数y=2sin(ωx+φ)的图象是由函数y=2sinωx的图象向左
3、移而得到的,∴φ>0,又可排除D,故选C.说明:在求解此题时,可充分利用图象与函数式之间的联系,也可用排除法来巧妙求解.在高考中主要考查已知函数图象或已知函数的性质求解析式,关键在于求A,ω,φ等三个量,反过来已知解析式可以画出其图象.别解:由图可知,点(0,1)和点(11π12,0)都是图象上的点将点(0,1)的坐标代入待定的函数式中,得2sinφ=1,即sinφ=12,又|φ|<π2,∴φ=π6.又由“五点法”作图可知,点(11π12,0)是“第五点”,所以ωx+φ=2π,即ω·1112π+π6=2π,解之
4、得ω=2,故选C.例3.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)图象的一个最高点(2,3),由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6,0),试求φ.解:由已知可得函数的周期T=4×(6-2)=16,∴ω=2πT=π8,又A=3,∴y=3sin(π8x+φ)把(2,3)代入上式得:3=sin(π8×2+φ)·3,∴sin(π4+φ)=1,而0<φ<2π,∴φ=π4,所求解析式为:y=3sin(π8x+π4).评析:待定初相位时,既要思考过点,又要思考点所在的单调区间或五点中按序的第几
5、个点,整体变量解出初相位.三、利用最值思想巧求初相角例4.已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<π2)在同一周期内,当x=π12时,y有最小值-2,当x=7π12时,y有最大值2,求函数的解析式.分析:由y=Asin(ωx+φ)的图象易知A的值,在同一周期内,最高点与最低点横坐标之间的距离即T2,由此可求ω的值,再将最高(或低)点坐标代入可求φ.解:由题意A=2,π2=7π12-π12,∴T=π=2πω,∴ω=2,∴y=2sin(2x+φ),又x=π12时y=2,∴2=2sin(2×π12+φ)
6、,∴φ+π6=π2,∴φ=π3.∴函数解析式为:y=2sin(2x+π3).四、利用函数的奇偶性探求初相角例5.(2003年江苏)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π4,0)对称,且在区间[0,π2]上是单调函数,求φ的值.分析:抓住函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,且有f(-x)=f(x),这点是解决本题的关键.解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x).即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),∴-cosφsinωx=cosφsinωx对
7、任意x都成立,且ω>0,所以得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以得φ=π2.评析:函数的奇偶性是指判断y=Asin(ωx+φ)型的奇偶性,或已知奇偶性求参数.对于f(x)=Asin(ωx+φ)(φ≠0),当φ=kπ(k∈Z),则函数f(x)为奇函数;当φ=kπ+π2(k∈Z),则函数f(x)为偶函数;否则一定是非奇非偶函数.本小题考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力.五、由函数的对称性巧求初相例6.(2005全国卷Ⅰ)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π 解:由图象
8、知,将y=5sin(23x)的图象沿x轴向左平移π2个单位,就得到本题图象,故所求函数为y=5sin23(x+π2),即y=5sin(23x+π3).评析:在高考中对于图象的平移要引起重视,这是高考中一个重要知识点.九、借用辅助角将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式得到初相角例10.已知函数f(x)=4sin2x+2sin2x-2,x∈R.求f(x)的初相角.解:f(x)=4sin
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