第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)

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1、第二章二次函数与命题(高中数学竞赛标准教材)第二二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当0时，=ax2+bx+或f(x)=ax2+bx+称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+=0…①和不等式ax2+bx+>

2、;0…②及ax2+bx+<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4a）。1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x

3、x<x1或x>x2}和{x

4、x1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2)2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x

5、x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。3）当△<0时，方程①无解，不等式②和

6、不等式③的解集分别是R和f(x)图象与x轴无公共点。当a<0时，请读者自己分析。4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=对于给定区间[,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+(a>0)，当x0∈[,n]时，f(x)在[,n]上的最小值为f(x0);当x0<时。f(x)在[,n]上的最小值为f()；当x0>n时，f(x)在[,n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义1能判断真假的语句叫命题，如“

7、3>”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注1“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2原命题：若p则q（p为条，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如

8、果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条；如果qp，则称p是q的必要条；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条；若pq且qp，则p是q的充要条。二、方法与例题1．待定系数法。例1设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x)【解】设f(x)=ax2+bx+(a0),则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0，因为方程x2-x+1=0中△0，所

9、以αβ，所以(α+β)a+b+1=0又α+β=1,所以a+b+1=0又因为f(1)=a+b+=1，所以-1=1，所以=2又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+22．方程的思想。例2已知f(x)=ax2-满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤，求f(3)的取值范围。【解】因为-4≤f(1)=a-≤-1,所以1≤-f(1)=-a≤4又

10、-1≤f(2)=4a-≤,f(3)=f(2)-f(1),所以×(-1)+≤f(3)≤×+×4,所以-1≤f(3)≤203．利用二次函数的性质。例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+(a,b,∈R,a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。注

11、：请读者思考例3的逆命题是否正确。4．利用二次函数表达式解题。例4设二次函数f(x)=ax2+bx+(a>0)，方程f(x)=x的两根x1,x2满足0<