学习外微分式的一些感受.doc

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1、学习外微分形式的一些感受PB07210141焦凡书外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M，并在M处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S上任意一点M’，在S上做

2、一条连接M,M’的曲线，由n(M’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M’处的单位法向量n(M’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S在M处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。在双侧曲面内令：x=x(u,v)y=y(u.,v)则面积元素dA=dxdy=

3、

4、dudv=

5、

6、dudv=()dudv若将x,y对换dA=dydx=

7、

8、dudv=

9、

10、dudv=()dudv可得dxdy=-dydxdxdx=0我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之

11、间的乘积称为微分外积，用表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdydz+Qdzdx+Rdxdy为二次外微分形式，Hdxdydz为三次外微分形式。可以证得（1）Newton-Leibniz公式用外微分表示=f(b)-f(a)=（2）Green公式用外微分表示Pdx+Qdy,=,（3）Gauss公式用外微分表示Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=dxdydz,（4）Stokes公式用外微分表示Pdx+Qdy

12、+Rdz,,而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为外微分形式的次数空间公式对应的度0直线段Newton-Leibniz梯度1平面区域Green旋度1空间曲面Stokes旋度2空间区域Gauss散度由此得出公式的一般形式：定理设为外微分形式，d是它的外微分，则有G是d的积分区域，G表示G的边界。Stokes公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令，d为算子，则它们对偶.所以说Stokes公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。参考书目：《高等

13、数学导论》《微积分五讲》龚升