工程数学-数学物理方程与特殊函数电子教案-王元明-2-4.ppt

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1、2.4非齐次方程的解法chapter2一、对应齐次问题的本征函数三、有界弦(杆)受强迫力的解二、关于的方程的通解四、特征函数法T(t)现考虑有界弦(或杆)受强迫力作用所产生的振动现象:定解问题弦的振动是由两部分干扰引起的,一是强迫力,一是初始状态,所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.可设解为:定解问题其中表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它满足:定解问题而表示仅由初始状态引起弦振动的位移,它满足:(a)(b)若V是(a)的解,W是(b)的解,则U=V+W一定就是原定解问题的解.问题(b)可直接用分离变量法求解,因此只需讨论如何解问题(a).由于方程(a

2、)中非齐次项的出现,所以不能直接用分离变量.由此,我们自然想到解非齐次线性常微分方程的参数变易法,类似地先考虑与非齐次方程所对应的齐次问题.定解问题通过分离变量后,得到特征值问题为:由此解得特征函数为:定解问题(a)所对应的齐次问题为:一、对应齐次问题的本征函数再将自由项f(x,t)也按特征函数系展开成如下的级数:二、关于T(t)的方程的通解仿照参数变异法,令:(c)(d)将(c)及(d)代入(a)的第一个式子,得到:其中这样确定函数只需解下列定解问题:再将(c)代入(a)中的初始条件得:二、关于T(t)的方程的通解用拉普拉斯变换法(或参数变易法)解出上式得到:二、关于T(t)的方程的通

3、解三、有界弦(杆)受强迫力的解将上式代入(c)得定解问题(a)的解为:将这个解与问题(b)的解加起来,就得到原定解问题的解.四、特征函数法以上求解非齐次方程的方法,显然也适用于求解带有其他齐次边界条件的各类非齐次方程,其主要步骤是:1.用分离变量法求得对应的齐次问题(即对应的齐次方程连同齐次边界条件)的特征函数.2.将未知函数u(x,t)[或u(x,y)等]按上面求得的特征函数展开,其展开系数为另一变量的函数,代入非齐次方程和初始条件(或另一变量的边界条件),得到关于时间因子的常微分方程的初值问题(或另一单元函数的常微分方程的边值问题),用参数变易法或拉氏变换法可求得其解.3.将所求得的

4、解代入未知函数的展开式中,即得原定解问题的解.这种分离变量的方法按其特点又叫特征函数(或固有函数)法.四、特征函数法例题在环形域(0