主成分分析教材.ppt

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1、主成分分析§1基本思想主成分概念首先由KarlParson在1901年引进，当时只对非随机变量来讨论的。1933年Hotelling将这个概念推广到随机变量。用途：在回归分析、聚类分析、判别分析中降维；简化对样本进行排序的问题。一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。总收入F1、总收入变化率F2和经济发展

2、或衰退的趋势F3F1F2F3iitF11F201F3001i0.995-0.0410.057li-0.0560.948-0.124-0.102lt-0.369-0.282-0.836-0.414-0.1121相关分析在力求数据信息丢失最少的原则下，对高维的变量空间降维，即研究指标体系的少数几个线性组合，并且这几个线性组合所构成的综合指标将尽可能多地保留原来指标变异方面的信息。这些综合指标就称为主成分。要讨论的问题是：原指标（自变量）组合的原则？选取多少个组合？组合的结果怎么解释？§2数学模型与几何解释假设我们所

3、讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…，Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息，并且相互独立。这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求原指标的线性组合Fi。满足如下的条件：主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即每个主成分的系数平方和为1。即•••••

4、••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴•••••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴•••••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴••••••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

5、•••••••••••••••••••••如果我们将轴和轴先平移，再同时按逆时针方向旋转角度，得到新坐标轴和。根据旋转变换的公式：Fl，F2除了可以对包含在Xl，X2中的信息起着浓缩作用之外，还具有不相关的性质，这就使得在研究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性。二维平面上的个点的方差大部分都归结在Fl轴上，而F2轴上的方差很小。Fl和F2称为原始变量x1和x2的综合变量。F简化了系统结构，抓住了主要矛盾。§3主成分的推导及性质一、两个线性代数的结论1、若A是p阶实对称阵，则一定可以找到正交阵U，使其中是

6、A的特征根。2、若上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量为则实对称阵属于不同特征根所对应的特征向量是正交的，即有令二、主成分的推导（一）第一主成分设X的协方差阵为由于Σx为非负定的对称阵，则有利用线性代数的知识可得，必存在正交阵U，使得其中1，2，…，p为Σx的特征根，不妨假设12…p。而U恰好是由特征根相对应的特征向量所组成的正交阵。下面我们来看，是否由U的第一列元素所构成为原始变量的线性组合是否有最大的方差。设有P维正交向量当且仅当a1=u1时，即时，有最大的方差1。因为Var(F1)=U

7、’1xU1=1。如果第一主成分的信息不够，则需要寻找第二主成分。（二）第二主成分在约束条件下，寻找第二主成分因为所以则，对p维向量，有所以如果取线性变换：则的方差次大。类推写为矩阵形式：§4主成分的性质一、均值二、方差为所有特征根之和说明主成分分析把P个随机变量的总方差分解成为P个不相关的随机变量的方差之和。协方差矩阵的对角线上的元素之和等于特征根之和。三、精度分析1）贡献率：第i个主成分的方差在全部方差中所占比重，称为贡献率，反映了原来P个指标多大的信息，有多大的综合能力。2）累积贡献率：前k个主成分共

8、有多大的综合能力，用这k个主成分的方差和在全部方差中所占比重来描述，称为累积贡献率。我们进行主成分分析的目的之一是希望用尽可能少的主成分F1，F2，…，Fk（k≤p）代替原来的P个指标。到底应该选择多少个主成分，在实际工作中，主成分个数的多少取决于能够反映原来变量80%－85％以上的信息量为依据，即当累积贡献率≥80%（85％）时的主成分的个数就足够了。最常见的情况是主成分为2到3个。