概率论的定义以及公式.doc

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1、§2随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式2000/7/31一．概率的统计定义：１．频率：随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同一试验时，随机现象却呈现出某种规律,即所谓统计规律性．　如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录：２．随机事件1。随机事件及其概率2。古典概型容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中　　　　　　　　　　　　　　　事件Ａ发生的次数　　　　　频数　　　　　事件Ａ发生的频率＝　　　　　　　　　　＝　　　　　　　

2、　　　　　　　　　　试验总次数　　　　　试验总次数　　　．我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率．２．随机事件的概率：（１）定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作次试验，记是次试验中事件发生的次数．当试验的次数很大时，如果频率稳定在某一数值的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值为事件在条件Ｓ下发生的概率，记作　　　　　　　　　　　　　　这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的

3、统计定义．但必须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。二．　古典概型：１．定义：　如果随机现象满足下列三个条件：(1)一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：，(2)每一个基本事件发生的可能性是相等的．(3)基本事件是两两互不相容满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型．在古典概型中，如果n为基本事件总数，m为事件A包含的基本事件数,那么事件A的概率法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概

4、率的一般定义．现在通常称它为概率的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合．２．古典概型公式的运用举例：【例1】袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率．解：容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且基本事件总数n＝5，取到白球的基本事件数m＝2，故把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题．这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。【例2】把a,b两个球随机地放到编号为I,　Ⅱ,　Ⅲ的三只盒

5、子里，求盒子I中没有球的概率。解：这是一个古典概型问题，把a,b两个球随机地放到编号为I,　Ⅱ,　Ⅲ的三只盒子里，基本事件总数　　　　　　　　　　　　设Ａ＝“盒子I中没有球”，则事件A包含的基本事件数　　　　　　　　　　∴【例3】有一个口袋，内装a只白球，b只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样,从袋了中任不同外，外形完全一样.现任意模出2个球时，求：（１）模出2个球都是白球的概率；（２）模出一个白球一个黑球的概率解:　　　这口袋共有a+b只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数　，（１）模出2

6、个球都是白球基本事件数　，　　∴　　模出2个球都是白球的概率　；（２）模出一个白球一个黑球的基本事件数　，　∴　　模出一个白球一个黑球的概率　　　．若把黑球作为废品，白球作为好品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样．按如产品分为更多等级，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等．则可用装有多种颜色的球的口袋的摸球模型来描述．【例3】列【例4】1．无放回抽样：2．有放回抽样：，　　　　　　　　　　　　【例5】有一个口袋内装可分辨4个黑球，6个白球,它们除颜色不同外，外形完全一样.现按两种取法；（Ⅰ）无

7、放回；（Ⅱ）有放回连续从袋中取出３个球，分别求下面事件的概率：（１）　“取出３个球都是白的”；（２）　“取出２个黑球，１个白球”．解：（Ⅰ）无放回：连续从袋中取出３个球的基本事件总数，　　　　　　　　（１）取出３个球都是白的基本事件数　　，　　　　　　　　　　∴　　　；（２）取出２个黑球，１个白球，注意到取出黑球的次序，∴　事件的基本事件数　，因而　　　　　　（Ⅱ）有放回：　连续从袋中取出３个球的基本事件总数　　　　　　　　　　　　　，（１）取出３个球都是白的基本事件数　，∴　　；（２）取出２个黑

8、球，１个白球，注意到黑球黑球的次序，∴　事件的基本事件数　，因而　【例６】设有k个球，每个球都能以同样的概率落到N个格子(Nk)的每—个格子中，试求：下列事件的概率(1)　A=”某指定的k个格子中各有一个球”；(1)　B=”任何k个格子中各有一个球”；(3)C=“k个球落到同一个格子中”.解:这是一个古典概型问题，由于每个球可落入N个格子中的任一个，所以n个球在N个格子基本事件总数(1)k个球在那指定的k个格子中全排列，总数为n!，因而所求概率（2）n个格子可以任意，即可以从N个格