资源描述：
《2001考研数一真题及解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Borntowin2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1)设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为(2)设则(3)交换二次积分的积分次序：(4)设矩阵满足,其中为单位矩阵，则＝(5)设随机变量的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，则导函数的图形为()(2)设函
2、数在点附近有定义，且则()(A)(B)曲面在点的法向量为{3,1,1}.(C)曲线在点的切向量为{1,0,3}.(D)曲线在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.23Borntowin(3)设，则在点可导的充要条件为()(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D)存在.(4)设则()(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷次，以分别表示正面向上和反面向上的次数，则的相关系数等于()(A)-1(B)0(C)(D)1三、(本题满分6分)求四、(本题满分6分)设函数在点(1
3、,1)处可微，且求.五、(本题满分8分)设试将展开成的幂级数，并求级数的和.六、(本题满分7分)计算其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向.七、(本题满分7分)设在内具有二阶连续导数且试证：(1)对于(−1,1)内的任意,存在唯一的∈(0,1)，使成立；23Borntowin(2)八、(本题满分8分)设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基
4、础解系，其中为实常数.试问满足什么关系时，也为的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关，且满足(1)记求2阶矩阵,使(2)计算行列式十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数服从参数的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且途中下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；(2)二维随机变量的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体服从证态分布从该总体中抽取简单随机样本，其样本均值为求统计量的数学期望.23Borntowin2001年全国硕士研究生入学
5、统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程的通解为时，则特征方程对应的两个根为一对共轭复根：，所以根据题设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：，特征根为从而对应的特征方程为：于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为.(2)【答案】【分析】若具有连续的一阶偏导数，梯度在直角坐标中的计算公式为：设，其中具有一阶连续偏导数，散度在直角坐标中的计算公式为：若具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：【详解】本题实际上是计算23Borntowin类似可得，；，根据定义有于是Oxyx+y=
6、1x=21(3)【答案】【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在内，，题设的二次积分并不是在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：其中再由图所示，又可将改写为于是(4)【答案】【详解】要求的逆，应努力把题中所给条件化成的形式.由题设23Borntowin即故.(5)【答案】【分析】切比雪夫不等式：【详解】根据切比雪夫不等式有二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在轴的左侧，曲线是严格单调增加的，因此当时，一定有，对应图形必在轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又的图形在轴右侧靠近轴
7、部分是单调增，所以在这一段内一定有，对应图形必在轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数在点附近有定义及未设在点可微，也没设，所以谈不上，因此可立即排除(A)；令，则有.因此过点的法向量为±{−3,−1,1}，可排除(B)；23Borntowin曲线可表示为参数形式：点的切向量为.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为可见，若在点可导，则极限一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，,在处不可导，但，故排除(A)其中，根据
8、有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以.故排除(C).又如在处不可导，但存在，进一步可排除(D).23Borntowin(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为是实对称矩阵，必相似于
