虚数不虚（复数简介）.doc

《虚数不虚（复数简介）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、虚数不虚——复数简介数的范围从自然数起不断扩充是和解方程联系在一起的。在自然数范围内x+a=0无解，引进了负数以后，这个方程就有解了。同样，方程ax+b=0（a、b为整数）在整数范围内可能无解，为使其总有解，人们引进了有理数。为使x2=b（b>0）这一类方程有解，数学家引进了无理数，从而有了实数，但解方程x2+b=0(b>0)时又遇到麻烦。古人一直认为x2=b(b<0)之类的方程在实数范围内无解，原因是任何实数的平方都是非负数。公元1484年，法国数学家舒克在他的著作《算术三论》中，解二次方程x2-3x+4=0，得x=，这里出

2、现了虚数——两个共轭虚数。他声称，这是不可能的。1545年，意大利数学家卡尔达诺发表了他的名作《大术》，书中公布了三次方程x3+px+q=0的求根公式x=。人们用这个公式解方程x3-6x+4=0，得x=，出现了在实数范围内不能解决的求-4的平方根问题，使还没有虚数概念的十六世纪数学家非常吃惊；另一方面，对方程x3-6x+4=0左边进行因式分解，有(x-2)(x2+2x-2)=0，解之得x1=2，x2=-1+，x3=-1-，于是有的数学家误认为，既然这个方程最后得到实根，那么用卡尔达诺公式求出的虚根一定是可以避免的。尽管他们绞尽

3、脑汁，试图去掉卡尔达诺公式中的虚数，幻想最终化为泡影。卡尔达诺在解问题“两数之和是10，积是40，求此两数”时，列出方程x(10-x)=40。解得x=5也曾引起他的困惑，认为负数的平方根是“诡辩量”，是虚构的、想象的、神秘的，他把叫做虚数，他曾写道：“算术就是这样神秘地进行，它的目的正象人们说的是又精密又不中用。”法国数学家笛卡尔最初也只承认正数，不承认负数和虚数，他认为虚数并不是数；英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹也曾把虚数当作不可接受的东西。1702年莱布尼兹说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐蔽所，它大概是介于存在和不

4、存在之间的两栖动物。”即使是对复数的发展作出很大贡献的数学家欧拉，开始时也曾认为：“一切形如、的数学式子，都是不可能的，虚构的，因为他们是负数的平方根，对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”在很长时间里，人们把虚数看作不可接受的“虚数”，谁也说不出它们有什么用处。随着时间的推移，人们才逐步认识了虚数的本质。1730年，法国数学家棣莫佛发现了公式(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ，后来被人们称作棣莫佛定理。1732年，欧拉成功地利用ω

5、（ω=），ω2，给出了卡尔达诺曾经研究过的三次方程x3+px+q=0(p>0，q>0)的三个根的一般公式。于1748年发现了著名的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。1777年，欧拉在递交给彼得堡科学院的论文《微分方程》中，首次使用符号i表示-1的一个平方根，并系统地建立了复数的理论。1747年，法国数学家达朗贝尔发现，对于虚数，如果按多项式的四则运算进行，那么它们的结果都可以写成a+b（其中a、b是实数）的形式。1797年，挪威测量学家威塞尔在递交给丹麦科学院的论文中，给出了复数的几何意义，正式提出把复数a+bi用平面上的

6、点（a，b）来表示，用平面上的向量表示，初步建立了复平面的概念，真正作出了虚数的几何解释。1806年，德国数学家高斯发现并公布了虚数的图象法，1831年给出了复数的几何表示的详细说明。他采用有序数对（a，b）代表复数a+bi，把复数的和与积用纯代数法定义，给复数代数化，第一次深刻地揭露了复数的“数”的性质，也是高斯在1832年首先使用并提出了“复数”这个名词。1906年，日内瓦的阿工第一次用“模”这个词表示向量a+bi的长度。从1484年到1832年，在几百年内，经过许多数学家的长期努力，终于揭开了“虚数”的神秘面纱，显出它们

7、的庐山真面目——“虚数不虚”。十八世纪以后，复数的理论日益完善，人们发现了复数有许多良好的性质，特别是复数与坐标平面上的点一一对应，原则上可使几何图形的各种关系转化为复数之间的关系，而复数可以进行运算，便于操作。因此，许多代数和几何问题，用复数运算来处理，有很大的方便，并在数学、力学、电学等学科中显示了它的独特地位，成为科学技术上普遍作用的一种重要数学工具。从此，对复数的研究日益展开，特别在十九世纪中叶以后，这项研究已逐渐发展成为一个庞大的数学分支——复变函数论。【附录】一、【高斯简介】高斯（1777年～1855年）德国数学家

8、、物理学家、天文学家。高斯出生于德国不伦瑞克的一个农家，自幼天资聪明。幼年就显示出非凡的数学才能。11岁时就试图证明二项式定理。15岁时读完牛顿、拉格朗日的著名著作，并掌握了牛顿的微积分理论。1795年～1798年在哥廷根大学学习，1799年因证明代数学的基本定理而获得哈勒大