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1、题组层级快练(十三)1．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案 C解析 设f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0.∴f(x)＝0在(2,3)内有零点．又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．2．(2015·衡水调研卷)方程
2、x2－2x
3、＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案 B解析 (数形结合法)∵a>0，∴a2＋1>
4、1.而y＝
5、x2－2x
6、的图像如图，∴y＝
7、x2－2x
8、的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点．3．函数f(x)＝的零点个数为( )A．0B．1C．2D．3答案 D解析 依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.4．(2014·湖北文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1,3}B．{－3，
9、－1,1,3}C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}答案 D解析 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－(正根舍去)．故选D.5．(2015·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 函数f(x)＝()x－cosx的零点个数为()x－cos
10、x＝0⇒()x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝()x与g(x)＝cosx的图像的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( )A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案 C解析 由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)．令f(x)＝0，得x＝－1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．7．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点答
11、案 B解析 原函数f(x)＝－cosx可理解为幂函数x与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.8．方程
12、x
13、＝cosx在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根答案 C解析 求解方程
14、x
15、＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝
16、x
17、和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数
18、问题．f(x)＝
19、x
20、和g(x)＝cosx的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，1)D．(1，＋∞)答案 A解析 只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．10．(2015·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．
21、f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0答案 B解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.11．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( )A．(－1,1)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞
22、)答案 C解析 当a＝0时，函数的零点是x＝－1.当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1.若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，故选C.12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( )A．a
