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1、北航大学数值分析计算实习报告实习题目：第一题设有的实对称矩阵A，其中，。矩阵A的特征值为，并且有1.求，和的值。2.求A的与数最接近的特征值。3.求A的(谱数)条件数和行列式detA。说明：1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平的，都取。2.选择算法时，应使矩阵A的所有零元素都不储存。3.打印以下容：（1）全部源程序；（2）特征值以及的值。4.采用e型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。一、算法设计方案1、求，和的值。由于，可知绝对值最大特征值必为和其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值，如果=0，则=，否则=。将矩阵A进行
2、一下平移：（1）对用幂法求出其绝对值最大的特征值，则A的另一端点特征值或为+。为按模最小特征值，，可对A使用反幂法求得。2、求A的与数最接近的特征值。计算-，其模值最小的值对应的特征值与最接近。因此对A进行平移变换：（2）对用反幂法求得其模最小的特征值，则=+。3、求A的(谱数)条件数和行列式detA。由矩阵A为非奇异对称矩阵可得：（3）其中为按模最大特征值，为按模最小特征值，通过第一问我们求得的和可以很容易求得A的条件数。在进行反幂法求解时，要对A进行LU分解得到。因L为单位下三角阵，行列式为1，U为上三角阵，行列式为主对角线乘积
3、，所以A的行列式等于U的行列式，为U的主对角线的乘积。二、算法实现1、矩阵存储原矩阵A为一个上、下半带宽都为2的501×501的带状矩阵，由于矩阵中的0元素太多，如果分配一个501×501的空间保存矩阵的话会浪费很多空间。因此，为了节省存储量，A的带外元素不给存储，值存储带元素，如下C矩阵所示：（4）C是一个5×501的矩阵，相比A大大节省了存储空间，在数组C中检索矩阵A的带元素的方法是：（5）2、幂法幂法迭代公式如下：（6）其中，不断迭代当时即可认为其满足精度要求，令。在程序中计算时，根据A矩阵的特点，简化如下：（7）3、反幂法反
4、幂法迭代公式如下：（8）当k足够大时，。在求解时，可先对A进行Doolittle分解，由于A是带状结构，所以分解出的L、U也是带状结构，利用C矩阵进行Doolittle分解并求向量的算法如下：（1）作分解A=LU对于执行：（9）由于C语言中数组下标是从0开始的，所以在程序中矩阵元素c的下标都减1。（2）求解（数组b先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y,在程序中b和y都保存在数组y[501]中。）（10）求出后，其他部分与幂法求解相同。三、结果分析实验表明，本程序中，初始向量对结果影响较大，合适的初始向量对得到正确的收敛结果比
5、较重要，如表1是不同初始向量的情况下的得到的部分结果。（实验结果截图见附录）迭代次数迭代次数159381160381535573350592674611311611304611343611343611343611表1不同初始向量对应的和及其迭代次数由表1可以得到如下结论：1.不同的初始向量对本程序的影响大，对没有影响，都能保证收敛到正确值。1.初始向量中必须保证中至少有一个为1才能保证收敛到正确值。2.初始向量非零值的多少和大小对迭代次数并没有明显影响。3.为解决初始向量对程序的影响，可以先对A做平移变换再求。三、实验程序#incl
6、ude#include#includestaticdoubleb=0.16,c=-0.064;#definePrecision1e-12voidcopy(doubleb[501],doubley[501]);doubledianji(doublex[],doubley[]);//计算两个向量积voidInitMatrix(double*p);//InitMatrixAdoubleNeiJi(doublea[],doubleb[]);//get2数voidget_y(double*
7、y,double*u);//getyvoidget_u(double*u,double*y,double*a);//getuvoidInitu(double*p);//初始化初始向量udoubleGet_Fabs_Eigenvalue(double*a,double*u,int*iterations);//循环迭代得到绝对值最大特征值voidA_sub_minI(double*a,doublemin);//A-min*IvoidInitC(doubleC[5][501]);//初始化数组CvoidDoolittleC(doubleC
8、[5][501],intn,ints,intr);//进行Doolittle分解intmin(inta,intb);//取返回a,b最小值intmax(inta,intb);//求最大值voidDoolittle_getx(doubl
