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《2011年《创新设计》8-7》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质)8.7双曲线1.双曲线的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数(小于
2、F1F2
3、且不为零)的动点M的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.(1)设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)(c,0).又点M与点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2c>2a>0),则双曲线的标准方程是:(其中b2=c2-a2,a>0,b>0).2.双曲线的标准方程3.双曲线的简单几何性质标准
4、方程=1(a>0,b>0)=1(a>0,b>0)范围
5、x
6、≥a,y∈R
7、y
8、≥a,x∈R对称性坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.顶点双曲线的对称轴与双曲线的交点叫做双曲线的顶点离心率e=渐近线y=y=1.方程表示的图形是()A.双曲线B.双曲线的右支C.一条直线D.一条射线答案:D2.与方程等价的方程是()答案:C3.已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为()解析:由知,a=b=,c=3.∴
9、MF1
10、=
11、MF2
12、=
13、MF
14、1
15、+2a=
16、F1F2
17、=6.∴F1到F2M的距离为答案:C4.设点P在双曲线上,若F1、F2为此双曲线的两个焦点,且
18、PF1
19、∶
20、PF2
21、=1∶3,则△F1PF2的周长等于()A.22B.16C.14D.12解析:本题考查双曲线的方程及定义等知识.由题意,a=3,b=4,∴c=5,根据题意,点P在靠近焦点F1的那支上,且
22、PF2
23、=3
24、PF1
25、,所以由双曲线的定义,
26、PF2
27、-
28、PF1
29、=2
30、PF1
31、=2a=6,∴
32、PF1
33、=3,
34、PF2
35、=9,故△F1PF2的周长等于3+9+10=22.答案:A在第一定义中,
36、
37、
38、PF1
39、-
40、PF2
41、
42、=2a,其中2a<
43、F1F2
44、(a>0).①当
45、PF1
46、-
47、PF2
48、=2a或
49、PF2
50、-
51、PF1
52、=2a时,点P的轨迹是双曲线的一支;当
53、F1F2
54、=2a时,
55、
56、PF1
57、-
58、PF2
59、
60、=2a表示两条射线;②当
61、F1F2
62、<2a时,轨迹不存在.在第二定义中,定点F不在定直线l上.若F∈l,则动点的轨迹为两条直线(定点除外).第一定义的应用主要是解焦点三角形问题.第二定义的应用主要是与准线和焦点有关的距离的最大(小)值问题.类似于椭圆问题,若P为双曲线=1(a>0,b>0)上一点,且F1、F2为双曲
63、线的左、右焦点,则可根据所给条件解焦点△PF1F2.【例1】已知双曲线16x2-9y2=144,F1、F2是左、右焦点,点P在双曲线上,且
64、PF1
65、
66、PF2
67、=32,求∠F1PF2.解答:由16x2-9y2=144得=1.根据已知条件:=6①且
68、F1F2
69、=10,由①得
70、PF1
71、2+
72、PF2
73、2-2
74、PF1
75、
76、PF2
77、=36,又
78、PF1
79、
80、PF2
81、=32,∴
82、PF1
83、2+
84、PF2
85、2=100.则
86、PF1
87、2+
88、PF2
89、2=
90、F1F2
91、2.∴△F1PF2为直角三角形,因此∠F1PF2=90°.1.求双曲线的标准方程首先
92、要做的是确定焦点的位置.如果不能确定,解决方法有两种:一是对两种情形进行讨论,有意义的保留,无意义的舍去;二是设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),解出的结果如果是m>0,n<0,那么焦点在x轴上,如果m<0,n>0,那么焦点在y轴上,在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时,可以用双曲线的定义直接求出a.2.在曲线形状未知的情况下,可利用求轨迹方程的方法求双曲线方程,特别要注意根据定义进行判断,利用标准方程进行化简和整理.【例2】已知定圆C1:(x+3)2+y2=16和C2:(x-3)2+y2=4,动圆C和C1
93、、C2都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.解答:设动圆半径为r,圆心C的坐标为(x,y),根据已知条件①-②得,
94、CC1
95、-
96、CC2
97、=2,∴所求动圆圆心C的轨迹是以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.又a=1,c=3,则b2=8,因此所求动圆圆心的轨迹方程为x2-=1(x≥1).变式2.已知定点A(3,0)和定圆C:(x+3)2+y2=16,动圆和圆C相切,并过点A,求动圆圆心P的轨迹方程.解答:设动圆的半径为r,动圆圆心P的坐标为(x,y),根据已知条件:即
98、PC
99、-
100、PA
101、=±4,则动
102、圆圆心的轨迹是以C(-3,0),A(3,0)为焦点,实轴长2a=4的双曲线,其方程为由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程时,首先要确定虚实轴在哪个坐标轴上,否则就分类讨论.渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质.渐近线确定了双曲线的开口程度,但渐近线方程确定其对应的双曲线不一定确定.【例3】如图,已知F1、F2为双曲线=1(a>0,b>