思科数学【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第03讲 二次函数的应用教案

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1、第3讲二次函数的应用本讲内容包括一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用。若二次函数的图象与轴有交点，则相应的二次方程有根，而且方程的根就是二次函数的图象在轴上的截距。应用二次函数图象是解二次方程根的分布问题的重要方法。如由二次函数的图象可以直观的得到：对于二次函数，若，则二次方程在上有一个根。A类例题例1若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围。（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根。分析讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行。代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法。解1（1）由题意，得所以，当时，原方程两实根

2、均为正数；（2）由题意，得所以，当时，原方程有一正根一负根。18用心爱心专心解2二次函数的图象是开口向上的抛物线。（1）如图，由题意，得。所以，当时，原方程两实根均为正数；（2）如图，由题意，得。所以，当时，原方程有一正根一负根。评注解2（1）中，条件是必要的。若将此条件改为，得到的二次函数的图象与原图象关于轴对称，此时得到的的值是两根均为负数的解。例2若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围。（1）方程两实根均大于1；（2）方程有一根比1大，一根比1小。分析本题的要求虽然与例1仅一字之差，由于“两实根均大于3”与“”不等价，因而解法有所变化。思路一，将原问

3、题化归为例1求解；思路二，运用图象法求解。解1设，原方程可化为。（1）由题意，关于的方程的两根均为正数，得18用心爱心专心。所以，当时，原方程两实根均大于1；（1）由题意，关于的方程的两根为一正根和一负根，得所以，当时，原方程有一根比1大，一根比1小。解2原方程可化为（1）由函数的图象，得所以，当时，原方程两实根均大于1；（2）由函数18用心爱心专心的图象，得所以，当时，原方程有一根比1大，一根比1小。例3求实数为何值时，方程的两个实根（1）分别在区间（1，2）和（3，4）内；（2）绝对值小于1。分析本题运用图象法求解比较简捷。其中，两个实根的绝对值小于1，即两个

4、实根均在区间内。解设。（1）由题意，得所以，当时，原方程两实根分别在区间（1，2）和（3，4）内；（2）由题意，两个实根的绝对值小于1，即两个实根均在区间内。因而有18用心爱心专心所以，当时，原方程的两个实根的绝对值小于1。情景再现1．关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（）2．实数为何值时，方程的两根都大于。3．关于的方程有两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）上，求实数的值。B类例题例4已知方程有一个根小于，其余三个根都大于，求的取值范围。分析设，原方程可化为，因而原方程的四个根是互为相反数的两对根。解设，原方程可化为。由题意，此方程的两个根都是正根

5、，且一根大于1，另一根小于1。设，则18用心爱心专心。所以，当时，原方程的四个根中，有一个根小于，其余三个根都大于。例5已知，证明关于的方程有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内。分析设，本题即要证且。解有两个不等的实根，且这两个根分别在区间和内。例6若函数在区间上的最小值为，最大值为，求。分析欲求的值，需按题设条件列出关于的两个方程。注意到求二次函数最值时，要判断二次函数的顶点是否在给定区间内，可以通过分类讨论的方法予以解决。解（1）当时，由，即是方程的两根。但此方程两根异号，故此时无解；18用心爱心专心（2）当时，。若=；若=（不合题意）。因此，所求区间为

6、；（3）当时，由因此，所求区间为。综上，所求区间为或。情景再现4．函数在区间上的最小值为0，求的值。5．已知，求证：方程必有两个不等的实根，且一个大于1，一个小于1。6．已知，求证方程有两个实根，且一个大于，一个小于C类例题例7设函数，方程的两个根满足，18用心爱心专心（1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明.分析本题涉及字母较多，其中是变量，是常量。从题设条件中反映出对知之甚少，对了解较多。为比较的大小，可以将它们用表示。证明（1）是方程的两个根，得所以，；（2）由题意，是方程的两个根，所以，又函数的图象关于直线对称，因而例8设函数对于给定的负数，

7、有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。（1）求的表达式。（2）当为何值时，最大？并求出这个最大值。18用心爱心专心分析（1）由为负数，函数的图象是开口向下的抛物线。由，函数的图象的顶点位于轴的右方。由此应用图象可求出。解（1）,[，即函数的图象的顶点位于轴的右方，的最大值为。若，即时，则是方程的较大的根。由，解得;若，即时，则是方程的较小的根。由，解得。所以，分析（2）函数的表达式中，自变量18用心爱心专心比较分散，可以通过分子有理化将自变量集中，以便于分析函数值的增减变化。解（2）当时，当时，综上，当时，的最大值为情景再现7．若二次函数有，求.的值。

8、8．设，若