柳卡图解决多次相遇与追及问题

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1、数海拾贝我不知道世人怎样看我，但我自己以为我不过像一个在海边玩耍的孩子，不时为发现比寻常更为美丽的一块卵石或一片贝壳而沾沾自喜，至于展现在我面前的浩翰的真理海洋，却全然没有发现。---牛顿（英国）柳卡图解决多次相遇与追及问题解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用

2、的时间是多少?（下面的例题基本都是先求得时间，然后画出准确的柳卡图，若用比例的方法更快更方便，本讲暂不用比例来解答，有兴趣的同学可以自己画画看)如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？解答：（这题不是我解答的）这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：

3、这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还

4、可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【例2】甲、乙两人在一条长的直路上来回跑步，甲的速度是每秒，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从

5、直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？解答：甲行一个全程用30÷1=30秒，乙行一个全程用30÷0.6=50秒，然后画出下面柳卡图：从图上看出，甲乙分别从两端出发，150秒后又回到来位置，所以可以看成150秒一个周期，甲乙在1个周期里共相遇了5次，10×60÷150=4个周期，共相遇了4×5=20次。【例3】A、B两地相距，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行，甲步行每分钟行．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？解答：知

6、道了两地的距离，需要求出每个人走一个全程所用的时间，方便画出柳卡图。乙行一个全程用1000÷150=6又2/3分，甲行一个全程用1000÷60=16又2/3分。30分钟内，两人一共合行（150+60）×30÷1000=6.3个全程。画出图后，可以很清楚的可以看到第3次相遇离B地最近。下面只要求的第三次相遇点距离B地多少千米即可。第三次相遇两人共行了3个全程，1000×3÷（150+60）=14又2/7分钟，这时甲行了60×14又2/7=6000/7米，距离乙地还有1000-6000/7=142又6/7米。【巩固】

7、A、B两地相距．甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时．甲步行，每分钟走；乙跑步，每分钟行．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近？解答：甲走一个全程需要950÷40=23.75分钟，乙行一个全程需要950÷150=6又1/3分钟。30分钟两人共行（40+150）×30÷950=6个全程，从图上可以看出30分钟共相遇4次，追及相遇1次，迎面相遇3次，第2次迎面相遇距离B地最近。