清华数学实验2-差分方程和数值微分.pdf

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1、数学实验李骥聪2007011861实验2差分方程和数值微分化学工程系化71李骥聪2007011861【实验目的】1．掌握用MATLAB优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。2．练习用无约束优化方法建立和求解实际问题模型（包括非线性最小二乘拟合）。【实验内容】1.题目2.一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%，他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？模型及其求解假定基金利息为复利计算，设老人60岁时存入x元，月利率为r，0每月月末取款为b，第k

2、月月末的余额为x。基于以上假定，则第k月末的余额x只和第kkk1月末的余额x及月利息r有关，可以得到如下关系式：k1x(1rx)bkk1记ar(1)，则：xaxbkk1代入题目中给定的数据，在MATLAB中计算。源程序为：functionx=exf1(x0,m,r,b)a=1+r;x=x0;fork=1:mx(k+1)=a*x(k)-b;endk=(0:240)';x1=exf1(100000,240,0.004,1000);y=1:20;M(y+1)=x1(12*y);M(1)=100000;figure,plot(0:20,M,'r*

3、',0:20,M,'-');%每年年末余额变化(x0=100000)title('图1.每年年末余额')xlabel('年份')ylabel('余额')gtext('x0=100000');holdon,z=0*(0:20);plot(0:20,z),holdoffr=0.004;a=1+r;数学实验李骥聪2007011861b=1000;X=b*(1-a^240)/a^240/(1-a)Y=b/rx2=exf1(X,240,0.004,1000);x3=exf1(200000,240,0.004,1000);x4=exf1(Y,240,0.004,1000)

4、;x5=exf1(300000,240,0.004,1000);figure,plot(k,x1,'r',k,x2,'b',k,x3,'g',k,x4,k,x5,'m')title('图2.最初存入金额不同的余额变化曲线（按月）');xlabel('月')ylabel('月末余额')gtext('x1=100000');gtext('x2=X');gtext('x3=200000');gtext('x4=Y');gtext('x5=300000');（1）由MATLAB计算得到1至20年的年末余额，如下表：表1.存入基金后每年年末余额年份12345678910

5、余额9326685575775076904360163508484107530824200688785.7年份11121314151617181920余额-3050.8-15468-28495-42160-56497-71537-87314-1.04E+05-1.21E+05-1.39E+05表2.第10年每月月末余额月份123456余额7820.86852.15879.549033922.62938.3月份789101112金额1950.1957.89-38.278-1038.4-2042.6-3050.8从表2得出在存入后第10年的8月，即老人70岁零8个

6、月时，基金将用完。MATLAB绘制出曲线如图1：数学实验李骥聪2007011861（2）由差分方程xaxb逐步递推得到：kk1kk21kk1axaxb(1aaa)axbk001a按照题目要求，若在老人80岁时仍有余额，即x0，所以2402401axb0240aa(1)由MATLAB计算得到，第20年年末余额刚好为零时，初始存入金额X为154093.3元。结果分析在建立本题目的模型过程中，首先作了一些基本假定：1.基金利息以复利计算，并且利率不变。2.老人每月月末取用下月的生活费，并且每月取用金额相同。在此基础上，建立了形如：x

7、axb的差分方程数学模型，并对问题求解。kk1利用MATLAB画出了老人在60岁时存入不同金额时，每月月末余额（并用曲线连接），如图2：数学实验李骥聪2007011861（1）从图上曲线的变化趋势可以很清楚的看到，在r和b相同的条件下，初始存入的基金金额x是影响每月月末余额的重要因素。当x小于X时，余额在第20年年末为负值；00当x等于X时，余额在第20年年末为零；当x大于X时，余额在第20年年末将为正值。00（2）从图上曲线也可以看出：当x小于Y时，余额数将减小，这是因为每月产生的利0息小于月末的取款；当x等于Y时，值数将不变；当x大于某值Y时，因为每

8、月产生的利00息大于月末的取款，老人的