转化——解决数学问题的一把利器.doc

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1、转化——解决数学问题的一把利器江苏朱咏松有一位数学家提出这样一个问题：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是在烧水，你应该怎样做？”学生们回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气上。”他又提出第二个问题：“假设所有的条件都和原来的一样，只是水壶中已经有了足够的水，这时你又应该怎样回答。”学生们说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但他认为这种回答并不是最好的回答，而最好的回答是：“把水壶中的水倒掉。”“把壶中的水倒掉”，这个看起来十分愚笨的方法，为什么反而还是最好的呢？

2、这是因为数学家眼里：“我已经把后一个问题‘转化’为前一个问题了。”尽管这个故事使人觉得好笑，但它却揭示了数学中一个非常重要的思维方法——转化。我国著名的数学家华罗庚称之为“退”。“转化”在初中数学教学内容中可以说是贯穿始终的。如在有理数中把“减”转化成“加”，把“除”转化成“乘”；在方程中把“一次方程组”通过“消元”转化为“一元一次方程”；“函数”与“方程（组）、不等式”间的转化等等。下面通过几个常见的题目来看一看“转化思想”在解题中的应用。【例1】若，求的值。解：由，得。则。评析：此题的方法很多，本

3、解法主要体现的是把“高次”转化为“低次”。利用“”把式中的次数统一转化为一次，从而达到自然抵消的效果。【例2】求的值。解：设，则原式评析：本题直接计算很繁琐，但把“数”转化为“式”，稍稍整理，关系立现。【例3】若，，求的值。解：评析:逆用公式也是转化中常用的手段之一，也就是华罗庚先生所说的“退”。【例4】求证：四个连续的自然数之积与1的和是一个完全平方数。解：设这四个连续的自然数分别为x、x+1、x+2、x+3。由令，则原式即。评析：本题关键是对的处理，强行展开将得到，这是一个高次式，平时很少用，要想

4、分解成完全平方形式，更是困难重重，显然这不是一个好办法。而上面的解答，通过组合，构造出本题的一个局部相同点，再把它用来代替，使原式变的更加明了。充分体现了把“局部”转化为“整体”的妙处。【例5】如图，已知AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于E、F。AMFEDCB求证：BE+CF>EF。证明一：在AD上截取DM=BD，连结EM、FM。∵BD=DM，∠BDE=∠MDE，DE=DE∴△BDE≌△MDE∴BE=ME同理：FM=CM在△EMF中，ME+MF>EF，即BE+CF>EF

5、。AFEDCBN证明二：延长ED到N，使DN=ED，连结CN、FN。∵BD=DM，∠BDE=∠NDC，DE=DN∴△BDE≌△CDN∴BE=CN∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且∠ADB+∠ADC=180º，∴∠EDF=90º∵DF=DF，∠EDF=∠NDF=90º，DE=DN∴△FDE≌△FDN∴EF=NF在△CFN中，CN+CF>FN，即BE+CF>EF。评析：本题考查的是三角形的三边关系，但所给的三条线段BE、CF、EF并不在同一个三角形中，因些如何把它们转移到一个三角形中是证此题的关键。

6、以上所给的两种方法，方法一：从“角的平分线”的特点出发，运用“翻折”变换进行线段的转移；方法二：从“中点”出发，运用“旋转”变换进行线段的转移。“翻折”与“旋转”是几何中两种常用的“转化”手法。【例6】已知，，且，则直线和直线相交于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：本题所给的两条直线的解析式都含有字母，较为抽象，解决时难度较大。但由于a和b均有一定的限制条件，所以不妨赋予a和b均在此范围内的值，使之具体化。故取，，即得和。求出交点坐标为（1，3），因此选A。“转化思想”通常遵循

7、三个原则：1、熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原则，即将抽象总是具体化。同学们在学习中要细心加以体会。