《概率论与数理统计》1-2

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1、第2节随机事件的概率定义随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A).对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说,它在一次试验中可能发生,也可能不发生.我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大,找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小.一、概率的定义及性质1.概率的统计定义(描述性定义)(1)频率定义2.1在一定的条件下,随机事件在n次重复试验中出现的次数nA,,叫做事件A发生的频数.比值nA/n叫做事件A发生的频率,并记为fn(A)=nA/n.频率具有下述性质:（1）0≤fn(

2、A)≤1;（2）fn(Ω)=1;（3）若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则历史上抛掷匀质硬币的若干结果试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998定义2.1在一定的条件下,随机事件在n次重复试验中出现的次数nA,,叫做事件A发生的频数.比值nA/n叫做事件A发生的频率,并记为fn(A)=nA/n.频率具有下述性质:（1）0≤fn(A)≤1;（2）fn

3、(Ω)=1;（3）若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则(2)概率的统计定义定义2.2在一定的条件下,进行了n次重复试验,在这n次试验中,事件A发生了nA次,当试验的次数n很大时,如果事件A发生的频率fn(A)=nA/n稳定在某个常数p的附近摆动,而且随着试验次数的增大,这种摆动的幅度越变越小,则称数值p为事件A在一定条件下发生的概率,记作P(A)=p.这样定义的概率称为统计概率.注意(1)常数p是与试验次数n无关的.它是事件A的固有属性,而不随人的意志和试验操作发生变化.常数p是一种理论值,可以在一定的理论下推算出来.(2)随着

4、试验次数n的增加,频数nA将逐步增大limnA=∞,频率nA/n是实际操作的结果,是试验值,不同的人,不同的时期,得到的结果可能不同.频率nA/n作为一个数列,limnA/n并不一定收敛于p,而只是在p的附近摆动.2.概率的公理化定义定义2.3设E为随机试验,Ω是它的样本空间，如果对E的每一个事件A，都存在实数P(A)与之对应,并满足如下三条公理：(1)非负性公理：对每一事件A,有0≤P(A)≤1;(2)规范性公理：P(Ω)=1;(3)可列可加性公理:设A1,A2,…是互不相容的事件,即对于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,则有则

5、称集合函数P(A)为事件A的概率(Probability).柯尔莫哥洛夫,1933年前苏联著名数学家现代概率论开创者性质1.P()=0.概率的性质于是由可列可加性得又由P()≥0得,P()=0证明:设An=(n=1,2,…),则,且对于证明令An+1=An+2=…=,则由可列可加性及P()=0得性质2.即性质3.对于任一事件A,有证明由AB知B=A∪(B-A),且A(B-A)=,性质4设A,B是两个事件,若AB,则有P(B-A)=P(B)-P(A)推论若AB，则P(B)≥P(A)证明由P(B)=P(A)+P(B-A)和

6、P(B-A)≥0知P(B)≥P(A)因此由概率的有限可加性得P(B)=P(A)+P(B-A)从而有P(B-A)=P(B)-P(A)证明因为A-B=A-AB,且ABA推论对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)故P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)性质5对于任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式.证明因为A∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=,ABB故P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)概率的加法公式可推广到多个事件

7、的情况.设A,B,C是任意三个事件，则有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般,对于任意n个事件A1,A2,…,An,有解(1)由于A与B互不相容，即AB=φ,则所以(2)则有(3)则有例1具有以上两个特点的随机试验称为古典概型,也称为等可能概型.在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验:(1)试验的样本空间的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.二、古典概型1.古典概型的定义定义2.4若一试验(概型)满足下列两个特征:(1)试验的样本空间中的基

8、本事件的总数是有限的,即(2)每个基本事件的出现是等可能的,即则称此试验为等可能概型或古典概型.2.古典概率的计算公式设随机试验的样本空间为又由于基本事件是两两不相容的,于是有所以由于在试验中