高一数学-集合(讲义).doc

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1、高一数学集合【知识要点】一、集合的含义及其表示1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。集合的性质：（1）确定性：班级中成绩好的同学构成一个集合吗？（2）无序性：班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？（3）互异性：集合中任意两个元素是不相同的。如：已知集合A＝{1，2，a}，则a应满足什么条件？常用数集及记法（1）自然数集：记作N（2）正整数集：记作（3）整数集：记作Z（4）有理数集：记作Q（5）实数集：记作R例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？（

2、1）我们班的全体学生；（2）我们班的高个子学生；（3）地球上的四大洋；（4）方程x2－1＝0的解；（5）不等式2x－3>0的解；（6）直角三角形；2、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x

3、P（x）}的形式。如：{x︱x为中国的直辖市}（3）集合的分类：有限集与无限集<1>有限集：含有有限个元素的集合。<2>无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。<3>空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：二、子集、全集、补集1、

4、子集的定义：如果集合A的任一个元素都在集合B中则称集合A为集合B的子集，记作：AB特别的：真子集的定义：如果AB并且，则称集合A为集合B的真子集。2、补集的定义：设A为S的子集，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作：＝{x∣x∈S且xA}，如果集合S包含我们所要研究的各个集合，就把S称为全集。三、交集与并集的定义1、定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集；记作：A∩B；由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集；记作：7用心爱心专心A∪B。性质

5、：（1）（2）若，则（3）（4）若则（5）归纳：1）交集：两集合的公共元素构成集合。2）并集：把两个集合合在一起，但要注意元素的互异性。3）基本方法：抽象的集合关系可用文恩图表示，实数集中的运算可在数轴上表示。注意点：空集是任何集合的子集；空集与任何集合的交集仍为空集。【典型例题】例1.（1）若U＝Z，A＝{x

6、x＝2k，k∈Z}B＝{x

7、x＝2k＋1，k∈Z}，则CUA＝。CUB＝。（2）设S＝R，A＝{x∣－1

8、∣x<3}，若AB，试求a的取值范围。例3.不等式组的解集为A，，试求A及，并把它们分别表示在数轴上。例4.设，求和。【集合易错点分析】易错点一遗忘空集致误例题1已知集合，集合B=﹛x

9、mx+1=0,﹜且,则实数m的取值集合是（）心得：空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。变式练习易错点二集合运算混乱例题2()ABCD心得：集合运算的规律：1交集2并集3补集：7用心爱心专心变式练习：已知集合,，若,求实数m的取值范围。心得：数集和点集的问题。在解决以集合为背景的综合性问题时，明确集合的意义是解

10、决问题的先决条件，现在接触的集合是“数集（各种约定的数集，方程的解集，不等式的解集，函数的定义域，值域等）”和“点集（函数的图像、直线、曲线、平面区域等）”本题的集合是点集，明确这点就可以脱去“集合”的外衣实现问题的转化，找到解决问题的途径，不至于掉进集合这个陷阱而出错。易错点三：忽视集合的三性致误例题3设集合，问是否存在这样的实数a，使得与同时成立？求出实数a;若不存在说明理由。心得：集合中元素具有确定性，无序性，互异性，它们对解题影响很大，遇到有参数的题别忘了检验参数的值是不是满足题意。【集合中的数学思想】一、数形结合思

11、想例1集合，，为何实数时，表示的平面区域的面积最大？解析：集合A表示的平面区域是圆心为（a，a）、半径为1的圆及其内部，其位置由实数a唯一确定。集合B表示的平面区域是以四个点（，0）、（0，）、（，0）和（0，）为顶点的正方形及其内部。点评：看似无从下手的一道综合题，通过采用数形结合的思想，便迎刃而解了。运用数形结合思想时，要特别注意端点值，做到准确无误。二、分类讨论思想例2集合与集合，满足，求实数的取值范围。解析：由7用心爱心专心可知B有两种情况：其一，B为非空集合，且B中所有元素均为A中的元素；其二，B为空集。点评：解含

12、有参数的集合问题时，最直接的办法就是运用分类讨论的思想，但在分类讨论时要注意不重不漏。三、等价转化思想例3设集合，集合，求。解析：将集合中元素的属性换一种说法，集合M表示函数的值域，集合N表示函数的值域，这样，把问题转化为求两个函数值域的交集。点评：将复杂的集合语言转化为易于理解的非集合数