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《2014《成才之路》高一数学（人教A版）4能力提升：2-5平面向量应用举例.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、能力提升一、选择题1．(2013·烟台模拟)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC为( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]B[解析]由(－)·(＋－2)＝0，可知·(＋)＝0，设BC的中点为D，则＋＝2，故·＝0，所以⊥.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．2．(2013·福建文)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. B．2 C．5 D．10[答案]C[解析]本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．由题意知AC，BD为四边形对角线，而
2、·＝1×(－4)＋2×2＝0∴AC⊥BD.7/7∴S四边形ABCD＝×
3、
4、×
5、
6、＝××＝××＝5.3．若向量＝(2,2)、＝(－2,3)分别表示两个力F1、F2，则
7、F1＋F2
8、为( )A．(0,5)B．(4，－1)C．2D．5[答案]D[解析]F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴
9、F1＋F2
10、＝5.4．速度
11、v1
12、＝10m/s，
13、v2
14、＝12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是( )A．2m/sB．10m/sC．12m/sD．2m/s[答案]D[解析]
15、v
16、2＝
17、v1＋v2
18、2＝
19、v1
20、2＋2v1·v2＋
21、v2
22、2＝100＋2×10×1
23、2cos60°＋144＝364.∴
24、v
25、＝2(m/s)．5．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A．2B．27/7C．2D．6[答案]A[解析]∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，∴
26、F3
27、＝
28、－F1－F2
29、＝＝＝＝2.6．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行km”，则向量a＋b表示( )A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋)km[答案]B[解析]a与b
30、的夹角为90°，则a·b＝0，则
31、a＋b
32、＝＝＝＝＝2，a·(a＋b)＝
33、a
34、2＋a·b＝1.设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，即a＋b表示向北偏东30°方向航行2km.二、填空题7．某人从点O向正东走30m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．[答案]60 60°7/7[解析]如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，则
35、
36、＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.8．(浙江高考)若平面向量α、β满足
37、α
38、＝1，
39、β
40、≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹
41、角θ的取值范围是____________．[答案][，π][解析]以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S＝
42、α
43、
44、β
45、sinθ＝
46、β
47、sinθ＝，所以sinθ＝，又因为
48、β
49、≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．9．(广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且
50、F1
51、＝3，
52、F2
53、＝5，则F1＋F2的大小为____________．7/7[答案][解析]
54、F1＋F2
55、2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，所以
56、F1＋F2
57、＝.三、解答题10．如图所示，已知▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠D
58、AB＝，求对角线AC和BD的长．[解析]设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，则
59、a
60、＝3，
61、b
62、＝1，θ＝.∴a·b＝
63、a
64、
65、b
66、cosθ＝.又∵＝a＋b，＝a－b，∴
67、
68、＝＝＝＝，
69、
70、＝＝＝＝.∴AC＝，DB＝.7/711．已知：▱ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形．[证明] 设＝a，＝b，由于四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋＝a＋b，＝－＝b－a.∵AC＝BD，∴
71、a＋b
72、＝
73、b－a
74、.∴
75、a＋b
76、2＝
77、b－a
78、2.∴
79、a
80、2＋2a·b＋
81、b
82、2＝
83、b
84、2－2a·b＋
85、a
86、2.∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD.∴四边形ABCD是矩形．12．今有一
87、小船位于d＝60m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37°＝)[解析]如图，由题设可知，船的实际速度v＝v划＋v水，其方向为临界方向.7/7则最小划速
88、v划
89、＝
90、v水
91、·sinθ，sinθ＝＝＝，∴θ＝37°.∴最小划速应为v划＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)．当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.7/7
