中考数学 辅助圆思想.docx

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1、辅助圆思想题型一：共顶点等线段【例1】在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．⑴若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；⑵在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（2012年北京中考节选）【解析】⑴图略，．⑵如图，连接，根据对称性可知，，以为圆心、长为半径作，则，∴．【例2】已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点．14⑴如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是___________，此时________；⑵如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算

2、的值（用含的式子表示）；（海淀一模）【解析】⑴等边三角形，1；⑵证明：连接、．由题意，得，，．∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．∴．∵为中点，∴在中，．在中，．∴．∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．∴．又∵，∴．∴．∴．由题意，，又．∴．∴．14在Rt中，．题型二：共斜边的直角三角形∵，∴．∴．【例1】已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；【解析】与的数量关系是相等．常规证法：过点作，，垂足分别为点．∵，易得，∴，而，∴．∵是的平分线，∴，又∵，∴．∴．辅助圆

3、证法：∵，∴四点共圆，∵平分，∴，∴．【例2】如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．14【解析】连接∵四边形是正方形，∴，∵是外角平分线，∴，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．【例1】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF

4、的中点所经过的路线长．备用图（朝阳一模）【解析】⑴在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．14∵，∴．∴．∴△ABP∽△DPC．∴，即．∴PC=2．⑵①∠PEF的大小不变．理由：过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．∴．∴GF=AB=2，．∵，∴．∴．∴△APE∽△GFP.∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变．②.辅助圆证法：连接，∵，∴四点共圆，∴，∴不会发生变化．题型三：四点共圆的简单应用14【例1】如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．【解析】∵，∴是圆内接四边形，∵平分，∴，∴．【例2】已知

5、：如图，正方形中，为对角线，，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．【解析】∵是对角线，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴的大小不发生改变．14【例1】（海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.⑴连结，证明：；⑵如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,

6、DB=5，CE=3，求线段PQ的长;⑶如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA.证明：PA是半圆的切线.【解析】⑴如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点，∴F∥AC且F=A，F∥AB且F=A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，∴F=A=E，F=A=D，∠BD=90°，∠CE=90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.⑵如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.14∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∴∠

7、ACE=∠EAC=45°，AC==，∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°∴AQ=AC=AG=同理：∠BAP=90°，AB=AP=∴CG=,∠GAB=∠QAP∴，∴PQ=BG∵∠ACB=90°，∴BC==∴BG==，∴PQ=.⑶证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，由⑵已证∠CAQ=90