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1、实验八 最佳广告编排方案【实验目的】1．了解线性规划问题及其可行解、基本解、最优解的概念。2．通过对实际应用问题的分析，初步掌握建立线性规划模型的基本步骤和方法。3．学习掌握MATLAB软件求解有关线性规划的命令。【实验内容】一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多地招徕顾客。下表是公司进行市场调研的结果：电视网络媒体杂志白天最佳时段每次做广告费用（千元）45862512受每次广告影响的顾客数（千人）350880430180受每次广告影响的女顾客数（千人）2604501601
2、00这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：（1）受广告影响的妇女超过200万；（2）电视广告的费用不超过450（千元）；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做的广告要重复5到8次。【实验准备】线性规划是运筹学中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学等众多学科和领域里起着十分广泛的应用。线性规划是在一组线性条件的约束之下，求某一个线性函数的最值问题。一般地，线性规划的数学模型为： ()＝＋＋…＋＋…≤(or＝
3、,≥),＝1,2,…,（1）≥0,＝1,2,…,用矩阵、向量符号，可以简化线性规划模型的表示：…＝…,＝,＝,＝……………………则线性规划问题可写为： () ＝≤(＝,≥) （2）≥,＝1,2,…,这里，＝称为目标函数，为目标函数的决策变量，为费用系数，是184常数向量；≤(or＝,≥)称为约束条件，为线性规划的系数矩阵，它是常数矩阵，为利润（费用）向量，其中是subjectto的缩写，意思是“满足约束条件”。1．线性规划的标准形式线性规划问题的标准形式为＝＝（3）
4、≥任何一种线性规划都可以等价地转换为标准形式。（1）约束条件标准化––––松弛变量法如果约束条件中有不等式： ＋＋…≤或 ＋＋…≥通过引入两个非负变量xn+1，xn+2将上述约束条件转换成下面等价形式： ＋＋…＋＝ ≥或 ＋＋…－＝≥可见约束不等式均可转换为约束等式。（2）目标函数的标准化若原问题是求（）＝，可以转换为求（）＝－即可。2．线性规划问题的解在（3）中满足约束条件＝，≥的向量＝（，，…，）’
5、称为线性规划问题的可行解，全体可行解组成的集合称为可行域，使目标函数＝达到最小值的可行解称为最优解。 如果矩阵的某列所构成的方阵是满秩的，则的列向量，，…，构成线性规划的一组基，称为线性规划问题的一个基阵，的剩余部分组成的子矩阵记为，则可以写成＝（，）。则相应地可以写成＝（，）‘，的分量与的列相对应，称为基变量；的分量与的列相对应，称为非基变量。在约束＝中令所有非基变量取值为零时，得到的解＝（，0）‘称为与相对应的基解。当基解所有的分量都取非负时，即满足≥，则称其为基可行解，相应的基阵的列向量构成可行
6、基。既是最优解，又是基可行解的称为最优基解。定理1 如果线性规划（3）有可行解，那么一定有基可行解。定理2 如果线性规划（3）有最优解，那么一定存在一个基可行解是最优解。以上定理说明了如果所给的线性规划（3）有最优解，只要从基可行解上寻找最优解就行了。由于基可行解的个数是有限的，只要对所有的基可行解一一检查，就可以在有限次计算后确定最优解或断定该问题无最优解。3．求解线性规划的MATLAB命令（1）MATLAB5.2及以下版本使用命令求解线性规划模型：184＝ （4）≤这里为
7、×矩阵，为×1列向量，为×1列向量。x=lp(c,A,b) 求解线性规划模型（4）；x=lp(c,A,b,vlb,vub) 指定决策变量的上下界vlb≤x≤vub；x=lp(c,A,b,vlb,vub,x0) 指定迭代的初始值x0；x=lp(c,A,b,vlb,vub,x0,n) n表示≤中前n个约束条件等式约束；可以用helplp查阅有关该命令的详细信息。（2）MATLAB5.3以上版本使用命令MATLAB5.3以上的版本中优化工具箱（OptimizationToolbox）作了相当大的改进，虽然保
8、留了lp命令，但已经使用新的命令linprog取代lp，并且在未来版本中将删除lp命令。求解的线性规划模型：＝ ≤ （5） ·＝ ≤≤x=linprog(c,A,b) 求解线性规划模型（4）；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 求解模型（5），问题中没有指定x的上下界；x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 求解
